3-4 Determine se a afirmação sobre o campo F(x, y) é verdadeira ou falsa. Se falsa, explique por quê.
F(x, y)=xraizx^2+y^2 i-yraizx^2+y^2 j.
(a) À medida que (x, y) se afasta da origem, os comprimentos dos vetores decrescem.
(b) Se(x, y) for um ponto no eixo x positivo, então o vetor aponta para cima.
(c) Se(x, y) for um ponto no eixo y positivo, o vetor aponta para a direita.

Passo 1

O enunciado define o campo
F(x,y)=xraizx^2+y^2,i;-;yraizx^2+y^2,j
para (x,y)neq(0,0), e pede para verificar três afirmações sobre o módulo e a direção de F. Vamos usar conceitos de magnitude de vetor e avaliação em eixos coordenados.

Passo 2

Calculemos o comprimento de F(x,y):
|F(x,y)| =raizl(xraizx^2+y^2r)^2+l(-yraizx^2+y^2r)^2 =raizx^2+y^2x^2+y^2 =1
Logo o módulo de F é constante igual a 1 (fora da origem), não decresce ao nos afastarmos.
Portanto (a) é falsa.

Passo 3

Se (x,y) está no eixo x positivo, temos y=0 e raizx^2+y^2=x. Assim
F(x,0) =l(xx,-0xr) =(1,0),
que aponta para a direita, não para cima.
Logo (b) é falsa.

Passo 4

Se (x,y) está no eixo y positivo, temos x=0 e raizx^2+y^2=y. Assim
F(0,y) =l(0y,-yyr) =(0,-1),
que aponta para baixo, não para a direita.
Logo (c) é falsa.

Resposta

(a) Falsa
(b) Falsa
(c) Falsa

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