Determine se a afirmação é verdadeira ou falsa. Se for verdadeira, explique ou demonstre. Caso contrário, apresente um contraexemplo que mostre que é falsa ou justifique por que ela é falsa.
A matriz aumentada (escalonada reduzida por linhas) de um sistema linear nas variáveis x1, x2, x3 e x4 está apresentada abaixo:
[rrrrr 1 & 0 & 0 & 0 & 8 0 & 1 & 0 & 0 & 9 0 & 0 & 1 & 1 & -1 0 & 0 & 0 & 0 & 0 ] cdot 4-3=1
Concluímos que o sistema é consistente e possui infinitas soluções.

Passo 1

O enunciado nos dá a forma escalonada reduzida por linhas da matriz aumentada de um sistema linear em (x1,x2,x3,x4):
1 & 0 & 0 & 0 & 8 0 & 1 & 0 & 0 & 9 0 & 0 & 1 & 1 & -1 0 & 0 & 0 & 0 & 0
Precisamos verificar se o sistema é consistente e se tem infinitas soluções.

Passo 2

Para verificar consistência, procuramos alguma linha da forma
(0;0;0;0mid b)com bneq0
Aqui a única linha toda zero é a quarta, e o termo independente também é zero, de modo que não há contradição. Portanto o sistema é consistente.

Passo 3

Os pivôs aparecem nas colunas 1, 2 e 3, correspondendo às variáveis básicas (x1,x2,x3). A coluna 4 não tem pivô, então x4 é uma variável livre.

Passo 4

Quando há ao menos uma variável livre, o sistema admite infinitas soluções. De fato, se tomarmos
x4=t,
então das equações em forma reduzida vêm
x1=8, x2=9, x3=-1 - t,
com tinR. Logo há infinidade de soluções parametrizadas por t.

Resposta

A afirmação é verdadeira: o sistema é consistente e possui infinitas soluções.

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