Determine se a afirmação é verdadeira ou falsa. Se for verdadeira, explique ou demonstre. Caso contrário, apresente um contraexemplo que mostre que é falsa ou justifique por que ela é falsa.
A transposta de uma matriz triangular superior é uma matriz triangular superior.
A transposta de uma matriz triangular superior é uma matriz triangular superior.
Passo 1
O enunciado pergunta se, dado
uma matriz triangular superior, sua transposta
também é triangular superior. O conteúdo envolvido é a definição de matriz triangular (superior e inferior) e a operação de transposição.
Passo 2
Por definição,
é triangular superior se
ou seja, todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero.
Passo 3
Quando transponho
, troco linha por coluna, logo
Se em
temos
para
, então em
aparece
sempre que
satisfaz
. Isso significa que
tem zeros acima da diagonal, ou seja, é triangular inferior, não superior.
Passo 4
Contraexemplo simples em dimensão
:
Aqui
é triangular superior, mas
não é triangular superior (pois
).
Resposta
A afirmação é falsa.