Determine se a afirmação é verdadeira ou falsa. Se for verdadeira, explique ou demonstre. Caso contrário, apresente um contraexemplo que mostre que é falsa ou justifique por que ela é falsa.
A transposta de uma matriz triangular superior é uma matriz triangular superior.

Passo 1

O enunciado pergunta se, dado A uma matriz triangular superior, sua transposta A^T também é triangular superior. O conteúdo envolvido é a definição de matriz triangular (superior e inferior) e a operação de transposição.

Passo 2

Por definição, A=(aij) é triangular superior se
aij=0sempre que i>j,
ou seja, todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero.

Passo 3

Quando transponho A, troco linha por coluna, logo
(A^T)ij=aji
Se em A temos aij=0 para i>j, então em A^T aparece (A^T)ij=0 sempre que ji satisfaz j>i. Isso significa que A^T tem zeros acima da diagonal, ou seja, é triangular inferior, não superior.

Passo 4

Contraexemplo simples em dimensão 2:
A=1 & 20 & 3 Longrightarrow A^T=1 & 02 & 3
Aqui A é triangular superior, mas A^T não é triangular superior (pois (A^T)21=2neq0).

Resposta

A afirmação é falsa.

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