Determine se a afirmação é verdadeira ou falsa. Se for verdadeira, explique ou demonstre. Caso contrário, apresente um contraexemplo que mostre que é falsa ou justifique por que ela é falsa.
Sejam A e B matrizes quadradas e de mesma ordem, então
det(A+B)=det(A)+det(B)

Passo 1

O enunciado pergunta se para quaisquer matrizes quadradas A e B da mesma ordem vale sempre
det(A+B)=det(A)+det(B)
O conteúdo envolve propriedades da função determinante, que é multiplicativa mas não aditiva em relação à soma de matrizes.

Passo 2

Lembramos que o determinante é uma forma multilinear em cada coluna (ou linha) separadamente, mas não é linear na soma total das matrizes. Em geral não existe a propriedade
det(A+B)=det(A)+det(B).

Passo 3

Para mostrar que a afirmação é falsa, basta um contraexemplo em dimensão 2. Seja
A = I2 = 1 & 00 & 1, B = I2 = 1 & 00 & 1
Então
A+B = 2I2 = 2 & 00 & 2
e
det(A+B) = det(2I2) = 2^2 = 4, det(A) + det(B) = 1 + 1 = 2
Como 4 neq 2, a igualdade não se sustenta.

Resposta

A afirmação é falsa. O contraexemplo A=B=I2 mostra que em geral det(A+B)neq det(A)+det(B).

Exercícios relacionados