Determine se a afirmação é verdadeira ou falsa. Se for verdadeira, explique ou demonstre. Caso contrário, apresente um contraexemplo que mostre que é falsa ou justifique por que ela é falsa.
Sejam
e
matrizes quadradas e de mesma ordem, então
Sejam
Passo 1
O enunciado pergunta se para quaisquer matrizes quadradas
e
da mesma ordem vale sempre
O conteúdo envolve propriedades da função determinante, que é multiplicativa mas não aditiva em relação à soma de matrizes.
Passo 2
Lembramos que o determinante é uma forma multilinear em cada coluna (ou linha) separadamente, mas não é linear na soma total das matrizes. Em geral não existe a propriedade
.
Passo 3
Para mostrar que a afirmação é falsa, basta um contraexemplo em dimensão
. Seja
Então
e
Como
, a igualdade não se sustenta.
Resposta
A afirmação é falsa. O contraexemplo
mostra que em geral
.