Determine se a afirmação é verdadeira ou falsa. Se for verdadeira, explique ou demonstre. Caso contrário, apresente um contraexemplo que mostre que é falsa ou justifique por que ela é falsa.
Seja V um espaço vetorial de dimensão 2 e sejam A, B bases distintas deste espaço tal que
[I]_{B}^{A}=\left[\begin{array}{cc}0 & 4 \\\\ -2 & -1\end{array}\right]\) então \[I]_{A}^{B}=\left[\begin{array}{cc}0 & 1 / 4 \\\\ -1 / 2 & 1\end{array}\right]\).

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede para eu decidir se a afirmação é verdadeira ou falsa:
  • Foi dado um espaço vetorial V de dimensão 2.
  • Existem bases A e B (distintas, mas isso não é essencial aqui).
  • A matriz da transformação identidade que manda coordenadas em B para coordenadas em A é
[I]_{B}^{A}= \begin{pmatrix} 0 & 4\\[4pt] -2 & -1 \end{pmatrix}.
  • A afirmação a verificar é que
[I]_{A}^{B}= \begin{pmatrix} 0 & 1/4\\[4pt] -1/2 & 1 \end{pmatrix}.
O que se pede: determinar se essa afirmação é verdadeira ou falsa. Se for verdadeira, demonstrar; se for falsa, dar um contraexemplo ou justificar por que é falsa.]

Passo 2

Conceito importante (explicado devagar e com jeitinho): a matriz [I]_{B}^{A} transforma coordenadas de um vetor escritas na base B em coordenadas do mesmo vetor escritas na base A. Ou seja, se [v]_B é o vetor de coordenadas de v em B, então
[v]_A = [I]_{B}^{A}\,[v]_B.
A operação inversa (ir de coordenadas em A para coordenadas em B) é feita por [I]_{A}^{B}. Logo, aplicando uma após a outra, voltamos às coordenadas originais; matematicamente:
[I]_{A}^{B}\,[I]_{B}^{A} = I_{2} \quad\text{e}\quad [I]_{B}^{A}\,[I]_{A}^{B} = I_{2},
onde I_{2} é a matriz identidade 2\times2. Portanto, [I]_{A}^{B} é a inversa da matriz [I]_{B}^{A}. Em símbolos:
[I]_{A}^{B} = \big([I]_{B}^{A}\big)^{-1}.
Conclusão: para verificar a afirmação basta calcular a inversa da matriz dada e comparar com a matriz anunciada.

Passo 3

Lembra da fórmula inversa de uma matriz 2\times2? Se
M=\begin{pmatrix} a & b \\[4pt] c & d \end{pmatrix},
então, se o determinante \det(M)=ad-bc for diferente de zero, a inversa é
M^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\[4pt] -c & a \end{pmatrix}.
Aqui a,b,c,d são as entradas da matriz; a ideia é trocar a com d, trocar o sinal de b e c, e multiplicar por 1/\det(M). Isso vem do cálculo direto que garante M M^{-1}=I.
Vou aplicar essa fórmula à matriz dada:
M=[I]_{B}^{A}=\begin{pmatrix}0 & 4\\[4pt]-2 & -1\end{pmatrix}.
Então a=0, b=4, c=-2, d=-1.]

Passo 4

Calcular o determinante:
\det(M)=ad-bc = 0\cdot(-1) - 4\cdot(-2) = 0 - (-8) = 8.
Como \det(M)=8\neq 0, a inversa existe.
Aplicando a fórmula da inversa:
M^{-1}=\frac{1}{8}\begin{pmatrix} d & -b \\[4pt] -c & a \end{pmatrix} = \frac{1}{8}\begin{pmatrix} -1 & -4 \\[4pt] 2 & 0 \end{pmatrix}.
Agora multiplico o escalar e escrevo as entradas explicitamente:
M^{-1}=\begin{pmatrix} -1/8 & -1/2 \\[4pt] 1/4 & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Comparo a matriz inversa verdadeira com a matriz que o enunciado afirma ser [I]_{A}^{B}, que é
\begin{pmatrix} 0 & 1/4 \\[4pt] -1/2 & 1 \end{pmatrix}.
As duas matrizes não coincidem: por exemplo, a entrada (1,1) da inversa verdadeira é -1/8 enquanto na matriz afirmada é 0; portanto são diferentes. Outra verificação possível é multiplicar a matriz dada por aquela afirmada e ver que o produto não é a identidade — isso mostraria diretamente que a afirmativa falha.
Logo a afirmação é falsa. Um contraexemplo explícito é simplesmente calcular a inversa (que deve ser [I]_{A}^{B}) e ver que ela não é a matriz proposta.]

Resposta

Falsa. O correto é
[I]_{A}^{B}=\begin{pmatrix}-1/8 & -1/2\\[4pt] 1/4 & 0\end{pmatrix}.]

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