Determine se a afirmação é verdadeira ou falsa. Se for verdadeira, explique ou demonstre. Caso contrário, apresente um contraexemplo que mostre que é falsa ou justifique por que ela é falsa.
Seja V um espaço vetorial de dimensão 2 e sejam A, B bases distintas deste espaço tal que
Seja V um espaço vetorial de dimensão 2 e sejam A, B bases distintas deste espaço tal que
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede para eu decidir se a afirmação é verdadeira ou falsa:
- Foi dado um espaço vetorial
de dimensão . - Existem bases
e (distintas, mas isso não é essencial aqui). - A matriz da transformação identidade que manda coordenadas em
para coordenadas em é
- A afirmação a verificar é que
O que se pede: determinar se essa afirmação é verdadeira ou falsa. Se for verdadeira, demonstrar; se for falsa, dar um contraexemplo ou justificar por que é falsa.]
Passo 2
Conceito importante (explicado devagar e com jeitinho): a matriz
transforma coordenadas de um vetor escritas na base
em coordenadas do mesmo vetor escritas na base
. Ou seja, se
é o vetor de coordenadas de
em
, então
A operação inversa (ir de coordenadas em
para coordenadas em
) é feita por
. Logo, aplicando uma após a outra, voltamos às coordenadas originais; matematicamente:
onde
é a matriz identidade
. Portanto,
é a inversa da matriz
. Em símbolos:
Conclusão: para verificar a afirmação basta calcular a inversa da matriz dada e comparar com a matriz anunciada.
Passo 3
Lembra da fórmula inversa de uma matriz
? Se
então, se o determinante
for diferente de zero, a inversa é
Aqui
são as entradas da matriz; a ideia é trocar
com
, trocar o sinal de
e
, e multiplicar por
. Isso vem do cálculo direto que garante
.
Vou aplicar essa fórmula à matriz dada:
Então
,
,
,
.]
Passo 4
Calcular o determinante:
Como
, a inversa existe.
Aplicando a fórmula da inversa:
Agora multiplico o escalar e escrevo as entradas explicitamente:
Passo 5
Comparo a matriz inversa verdadeira com a matriz que o enunciado afirma ser
, que é
As duas matrizes não coincidem: por exemplo, a entrada
da inversa verdadeira é
enquanto na matriz afirmada é
; portanto são diferentes. Outra verificação possível é multiplicar a matriz dada por aquela afirmada e ver que o produto não é a identidade — isso mostraria diretamente que a afirmativa falha.
Logo a afirmação é falsa. Um contraexemplo explícito é simplesmente calcular a inversa (que deve ser
) e ver que ela não é a matriz proposta.]
Resposta
Falsa. O correto é