Mostre que o ponto P(3,2) pertence à elipse
\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}=1
verificando a soma das distâncias aos focos.

Passo 1

O enunciado dá a elipse
\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}=1
e o ponto P(3,2). A tarefa é verificar, através da soma das distâncias de P aos focos da elipse, se P pertence à elipse. Informações relevantes que temos: as constantes da elipse (os denominadores 16 e 9) e as coordenadas do ponto P.

Passo 2

Definição e fórmulas que vamos usar (explicadas de forma didática):
\text{Se } \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \text{ com } a^{2}\ge b^{2},
então:
  • a é o semi-eixo maior (distância do centro até o vértice no eixo maior);
  • b é o semi-eixo menor;
  • a distância focal c satisfaz \;c^{2}=a^{2}-b^{2};
  • os focos estão em (\pm c,0) (se o maior eixo é o eixo x);
  • e a propriedade fundamental da elipse: todo ponto Q da elipse satisfaz que a soma das distâncias aos focos é constante e vale 2a, isto é,
\overline{QF_{1}}+\overline{QF_{2}}=2a.
Aqui cada símbolo significa: F_{1} e F_{2} são os focos, QF_{1} é a distância entre Q e F_{1}, e 2a é a constante que caracteriza a elipse.

Passo 3

Identificar a, b e c para a elipse dada:
\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}=1
Portanto \;a^{2}=16 e \;b^{2}=9. Assim
a=4,\qquad b=3.
Calcule c pela relação \;c^{2}=a^{2}-b^{2}:
c^{2}=16-9=7 \quad\Rightarrow\quad c=\sqrt{7}.
Logo os focos são
F_{1}(-\sqrt{7},0)\quad\text{e}\quad F_{2}(\sqrt{7},0).
A soma das distâncias que esperamos para um ponto da elipse é
2a=2\cdot 4=8.

Passo 4

Calcular as distâncias de P(3,2) a cada foco, passo a passo:
Distância a F_{2}(\sqrt{7},0):
\overline{PF_{2}}=\sqrt{(3-\sqrt{7})^{2}+(2-0)^{2}}=\sqrt{(3-\sqrt{7})^{2}+4}.
Expanda (3-\sqrt{7})^{2}:
(3-\sqrt{7})^{2}=9-6\sqrt{7}+7=16-6\sqrt{7}.
Assim
\overline{PF_{2}}=\sqrt{16-6\sqrt{7}+4}=\sqrt{20-6\sqrt{7}}.
Distância a F_{1}(-\sqrt{7},0):
\overline{PF_{1}}=\sqrt{(3+\sqrt{7})^{2}+4}.
Expanda (3+\sqrt{7})^{2}:
(3+\sqrt{7})^{2}=9+6\sqrt{7}+7=16+6\sqrt{7}.
Logo
\overline{PF_{1}}=\sqrt{16+6\sqrt{7}+4}=\sqrt{20+6\sqrt{7}}.

Passo 5

Agora somamos as duas distâncias:
\overline{PF_{1}}+\overline{PF_{2}}=\sqrt{20+6\sqrt{7}}+\sqrt{20-6\sqrt{7}}.
Para verificar se P pertence à elipse devemos checar se essa soma é igual a 2a=8.
Uma forma clara é ver que a igualdade não se sustenta: suponha, para testar, que
\sqrt{20+6\sqrt{7}}+\sqrt{20-6\sqrt{7}}=8.
Elevando ao quadrado ambos os lados obtemos
20+6\sqrt{7}+20-6\sqrt{7}+2\sqrt{(20+6\sqrt{7})(20-6\sqrt{7})}=64.
Os termos com \sqrt{7} se cancelam e sobra
40+2\sqrt{400-(6\sqrt{7})^{2}}=64.
Calcule (6\sqrt{7})^{2}=36\cdot 7=252, então
40+2\sqrt{400-252}=40+2\sqrt{148}=40+2\cdot 2\sqrt{37}=40+4\sqrt{37}.
A igualdade exigiria
40+4\sqrt{37}=64\quad\Rightarrow\quad 4\sqrt{37}=24\quad\Rightarrow\quad \sqrt{37}=6,
o que é falso (pois \sqrt{37} não é 6). Portanto a soma não é 8.
Também podemos dar um valor aproximado para confirmar:
\sqrt{20+6\sqrt{7}}\approx 5{,}9887,\qquad \sqrt{20-6\sqrt{7}}\approx 2{,}0311,
logo
\overline{PF_{1}}+\overline{PF_{2}}\approx 8{,}0198\neq 8.
Outra verificação rápida (direta na equação da elipse) é substituir P(3,2) em \dfrac{x^{2}}{16}+\dfrac{y^{2}}{9}:
\frac{3^{2}}{16}+\frac{2^{2}}{9}=\frac{9}{16}+\frac{4}{9}=\frac{81+64}{144}=\frac{145}{144}>1,
logo P não satisfaz a equação da elipse.

Passo 6

Conclusão: a soma das distâncias de P(3,2) aos focos é exatamente a expressão
\sqrt{20+6\sqrt{7}}+\sqrt{20-6\sqrt{7}}
que é diferente de 2a=8. Portanto P(3,2) não pertence à elipse dada.

Resposta

O ponto P(3,2) não pertence à elipse. A soma das distâncias aos focos é \sqrt{20+6\sqrt{7}}+\sqrt{20-6\sqrt{7}}\approx 8{,}0198, que é diferente de 8.

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