Determine se a afirmação é verdadeira ou falsa. Se for verdadeira, explique ou demonstre. Caso contrário, apresente um contraexemplo que mostre que é falsa ou justifique por que ela é falsa.
Sejam A e B bases de R^{2}, podemos afirmar que
v]_{B}=\left[\begin{array}{c}9 \\\\ -3\end{array}\right]\) sabendo que \[I]_{B}^{A}= \left[\begin{array}{cc}1 & 3 \\\\ 0 & -1\end{array}\right]\) e \[v]_{A}=\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 3\end{array}\right]\).

Passo 1

O enunciado pede que eu determine se a afirmação é verdadeira ou falsa. As informações fornecidas são:
[I]_{B}^{A}=\begin{pmatrix}1 & 3\\[4pt]0 & -1\end{pmatrix}, \qquad [v]_{A}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]3\end{pmatrix}, \qquad \text{afirma-se que}\quad [v]_{B}=\begin{pmatrix}9\\[4pt]-3\end{pmatrix}.
Preciso decidir se essa igualdade [v]_{B}=\dots está correta, usando apenas as informações acima.]

Passo 2

Entender o papel da matriz [I]_{B}^{A}: quando se escreve [I]_{B}^{A} geralmente significa a matriz da transformação identidade do espaço, com as coordenadas de entrada expressas na base A e as coordenadas de saída expressas na base B. Na prática isso dá a relação direta entre as coordenadas de um vetor nas duas bases:
[v]_{B}=[I]_{B}^{A}\,[v]_{A}.
Explicando devagar: se [v]_{A}=\begin{pmatrix}x_{1}\\[4pt]x_{2}\end{pmatrix}, então v=x_{1}a_{1}+x_{2}a_{2}. A matriz [I]_{B}^{A} tem como coluna j as coordenadas de a_{j} expressas em B. Multiplicando a matriz pelas coordenadas em A obtemos as coordenadas de v em B.]

Passo 3

Olho as colunas de [I]_{B}^{A}. Elas são:
\text{coluna 1}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix},\qquad \text{coluna 2}=\begin{pmatrix}3\\[4pt]-1\end{pmatrix}.
Isso significa, explicitamente, que a_{1} tem coordenadas \begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix} em B e a_{2} tem coordenadas \begin{pmatrix}3\\\ -1\end{pmatrix} em B.]

Passo 4

Uso a informação [v]_{A}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]3\end{pmatrix}. Isso diz que
v=0\cdot a_{1}+3\cdot a_{2}=3a_{2}.
Como a_{2} tem coordenadas \begin{pmatrix}3\\\ -1\end{pmatrix} em B, então
[v]_{B}=3\cdot\begin{pmatrix}3\\[4pt]-1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}9\\[4pt]-3\end{pmatrix}.
Esse cálculo usa a interpretação coluna-a-coluna da multiplicação matriz-vetor (cada coluna multiplicada pelo componente correspondente e somadas).]

Passo 5

Faço também a multiplicação de matriz por vetor de forma direta para confirmar:
[I]_{B}^{A}\,[v]_{A}= \begin{pmatrix}1 & 3\\[4pt]0 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0\\[4pt]3\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1\cdot 0 + 3\cdot 3\\[6pt]0\cdot 0 + (-1)\cdot 3\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}9\\[4pt]-3\end{pmatrix}.
As contas estão explícitas: primeira entrada =0+9=9; segunda entrada =0-3=-3.]

Passo 6

Portanto a igualdade afirmada é correta: a matriz de mudança de base aplicada ao vetor em coordenadas A produz exatamente o vetor em coordenadas B dado no enunciado. Força aí — deu certinho!

Resposta

Verdadeira. [v]_{B}=\begin{pmatrix}9\\\ -3\end{pmatrix}

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