Determine se a afirmação é verdadeira ou falsa. Se for verdadeira, explique ou demonstre. Caso contrário, apresente um contraexemplo que mostre que é falsa ou justifique por que ela é falsa.
Sejam A e B bases de
, podemos afirmar que
Sejam A e B bases de
Passo 1
O enunciado pede que eu determine se a afirmação é verdadeira ou falsa. As informações fornecidas são:
Preciso decidir se essa igualdade
está correta, usando apenas as informações acima.]
Passo 2
Entender o papel da matriz
: quando se escreve
geralmente significa a matriz da transformação identidade do espaço, com as coordenadas de entrada expressas na base
e as coordenadas de saída expressas na base
. Na prática isso dá a relação direta entre as coordenadas de um vetor nas duas bases:
Explicando devagar: se
, então
. A matriz
tem como coluna
as coordenadas de
expressas em
. Multiplicando a matriz pelas coordenadas em
obtemos as coordenadas de
em
.]
Passo 3
Olho as colunas de
. Elas são:
Isso significa, explicitamente, que
tem coordenadas
em
e
tem coordenadas
em
.]
Passo 4
Uso a informação
. Isso diz que
Como
tem coordenadas
em
, então
Esse cálculo usa a interpretação coluna-a-coluna da multiplicação matriz-vetor (cada coluna multiplicada pelo componente correspondente e somadas).]
Passo 5
Faço também a multiplicação de matriz por vetor de forma direta para confirmar:
As contas estão explícitas: primeira entrada
; segunda entrada
.]
Passo 6
Portanto a igualdade afirmada é correta: a matriz de mudança de base aplicada ao vetor em coordenadas
produz exatamente o vetor em coordenadas
dado no enunciado. Força aí — deu certinho!
Resposta
Verdadeira.