Determine se a afirmação é verdadeira ou falsa. Se for verdadeira, explique ou demonstre. Caso contrário, apresente um contraexemplo que mostre que é falsa ou justifique por que ela é falsa.
Sejam T: R^{2} \rightarrow R^{3} e S: R^{3} \rightarrow R^{2} transformações lineares definidas por T(x ; y)= (x-y ; y ; 2 x+4 y) e S(x ; y ; z)=\left(x+y-2 z ; \frac{z}{2}\right) então
S o T]=\left[\begin{array}{cc}-3 & -8 \\\\ 1 & 2\end{array}\right]\).
Passo 1
O enunciado dá duas transformações lineares e pede para verificar uma afirmação sobre a matriz da composição. Especificamente:
São dadas T: \mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{3} e S:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2} por
T(x;y) = (x-y;\; y;\; 2x+4y)
e
S(x;y;z)=\bigl(x+y-2z;\; \tfrac{z}{2}\bigr).
A afirmação a verificar é que a matriz de S\circ T (na base canônica) é
O que se pede: determinar se essa afirmação é verdadeira ou falsa. Se for verdadeira, demonstrar; se for falsa, apresentar um contraexemplo (ou justificar) mostrando a matriz correta.]
Passo 2
Vamos primeiro obter a matriz de T na base canônica de \mathbb{R}^2 (colunas dadas pelas imagens dos vetores canônicos \,e_1=(1;0) e ,e_2=(0;1))). Calculemos:
A regra para composição é: a matriz de S\circ T na base canônica é o produto matricial [S]\,[T] (observe a ordem: primeiro T, depois S, então multiplica-se [S] por [T]). Vamos calcular [S]\,[T], onde [S] é 2\times3 e [T] é 3\times2; o produto será 2\times2.
Como verificação alternativa (mais direta e boa para a prova): compor as fórmulas e extrair a matriz dos coeficientes. Seja (x;y)\in\mathbb{R}^2. Primeiro calcule T(x;y):
T(x;y) = (x-y;\; y;\; 2x+4y).
Agora aplique S a esse vetor:
S\bigl(T(x;y)\bigr) = S(x-y,\; y,\; 2x+4y).
Substituindo na fórmula de S:
S\bigl(T(x;y)\bigr) = \bigl((x-y) + y - 2(2x+4y);\; \tfrac{2x+4y}{2}\bigr).
Simplificando as componentes:
Primeira componente:
(x-y)+y -2(2x+4y) = x - y + y -4x -8y = (x-4x) + (-y+y-8y) = -3x -8y.
Segunda componente:
\tfrac{2x+4y}{2} = x + 2y.
Logo
S\circ T(x;y) = (-3x -8y;\; x+2y).
Isso mostra que, na base canônica, a matriz de S\circ T é exatamente
pois as colunas são as imagens de e_1 e e_2: S\circ T(e_1)=(-3;1) e S\circ T(e_2)=(-8;2).]
Passo 6
Comparando o resultado do cálculo com a matriz dada no enunciado, vemos que coincidem exatamente. Portanto a afirmação é verdadeira. Pode-se usar tanto o método das matrizes (imagens dos vetores canônicos e multiplicação) quanto o de compor as fórmulas e ler os coeficientes — ambos dão o mesmo resultado.