Determine se a afirmação é verdadeira ou falsa. Se for verdadeira, explique ou demonstre. Caso contrário, apresente um contraexemplo que mostre que é falsa ou justifique por que ela é falsa.
Sejam T: R^{2} \rightarrow R^{3} e S: R^{3} \rightarrow R^{2} transformações lineares definidas por T(x ; y)= (x-y ; y ; 2 x+4 y) e S(x ; y ; z)=\left(x+y-2 z ; \frac{z}{2}\right) então
S o T]=\left[\begin{array}{cc}-3 & -8 \\\\ 1 & 2\end{array}\right]\).

Passo 1

O enunciado dá duas transformações lineares e pede para verificar uma afirmação sobre a matriz da composição. Especificamente:
  • São dadas T: \mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{3} e S:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2} por
T(x;y) = (x-y;\; y;\; 2x+4y)
e
S(x;y;z)=\bigl(x+y-2z;\; \tfrac{z}{2}\bigr).
  • A afirmação a verificar é que a matriz de S\circ T (na base canônica) é
\left[\begin{array}{cc}-3 & -8 \\[4pt] 1 & 2\end{array}\right].
O que se pede: determinar se essa afirmação é verdadeira ou falsa. Se for verdadeira, demonstrar; se for falsa, apresentar um contraexemplo (ou justificar) mostrando a matriz correta.]

Passo 2

Vamos primeiro obter a matriz de T na base canônica de \mathbb{R}^2 (colunas dadas pelas imagens dos vetores canônicos \,e_1=(1;0) e ,e_2=(0;1))). Calculemos:
  • T(e_1)=T(1;0). Substituindo em T(x;y):
T(1;0) = (1-0;\; 0;\; 2\cdot1+4\cdot0) = (1;\;0;\;2).
  • T(e_2)=T(0;1). Substituindo:
T(0;1) = (0-1;\;1;\;2\cdot0+4\cdot1) = (-1;\;1;\;4).
As colunas da matriz de T são essas imagens (cada coluna é um vetor em \mathbb{R}^3). Logo
[T] \;=\; \left[\begin{array}{cc}1 & -1 \\[4pt] 0 & 1 \\[4pt] 2 & 4\end{array}\right].]

Passo 3

Agora obtenhamos a matriz de S na base canônica de \mathbb{R}^3 (colunas dadas por S(e_1),S(e_2),S(e_3) com e_1=(1;0;0),e_2=(0;1;0),e_3=(0;0;1)).
  • S(e_1)=S(1;0;0)=\bigl(1+0-2\cdot0;\; \tfrac{0}{2}\bigr) = (1;\;0).
  • S(e_2)=S(0;1;0)=\bigl(0+1-2\cdot0;\; \tfrac{0}{2}\bigr) = (1;\;0).
  • S(e_3)=S(0;0;1)=\bigl(0+0-2\cdot1;\; \tfrac{1}{2}\bigr) = (-2;\; \tfrac{1}{2}).
Portanto a matriz de S é (cada coluna é um vetor em \mathbb{R}^2):
[S] \;=\; \left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & -2 \\[4pt] 0 & 0 & \tfrac{1}{2}\end{array}\right].]

Passo 4

A regra para composição é: a matriz de S\circ T na base canônica é o produto matricial [S]\,[T] (observe a ordem: primeiro T, depois S, então multiplica-se [S] por [T]). Vamos calcular [S]\,[T], onde [S] é 2\times3 e [T] é 3\times2; o produto será 2\times2.
Escrevendo os dois:
[S] = \left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & -2 \\[4pt] 0 & 0 & \tfrac{1}{2}\end{array}\right], \qquad [T] = \left[\begin{array}{cc}1 & -1 \\[4pt] 0 & 1 \\[4pt] 2 & 4\end{array}\right].
Calculemos entrada a entrada (produto de linha de [S] por coluna de [T]).
Primeira linha, primeira coluna:
([S][T])_{11} = 1\cdot 1 + 1\cdot 0 + (-2)\cdot 2 = 1 + 0 -4 = -3.
Primeira linha, segunda coluna:
([S][T])_{12} = 1\cdot(-1) + 1\cdot 1 + (-2)\cdot 4 = -1 + 1 -8 = -8.
Segunda linha, primeira coluna:
([S][T])_{21} = 0\cdot 1 + 0\cdot 0 + \tfrac{1}{2}\cdot 2 = 0 + 0 + 1 = 1.
Segunda linha, segunda coluna:
([S][T])_{22} = 0\cdot(-1) + 0\cdot 1 + \tfrac{1}{2}\cdot 4 = 0 + 0 + 2 = 2.
Juntando,
[S][T] = \left[\begin{array}{cc} -3 & -8 \\[4pt] 1 & 2 \end{array}\right].]

Passo 5

Como verificação alternativa (mais direta e boa para a prova): compor as fórmulas e extrair a matriz dos coeficientes. Seja (x;y)\in\mathbb{R}^2. Primeiro calcule T(x;y):
T(x;y) = (x-y;\; y;\; 2x+4y).
Agora aplique S a esse vetor:
S\bigl(T(x;y)\bigr) = S(x-y,\; y,\; 2x+4y).
Substituindo na fórmula de S:
S\bigl(T(x;y)\bigr) = \bigl((x-y) + y - 2(2x+4y);\; \tfrac{2x+4y}{2}\bigr).
Simplificando as componentes:
  • Primeira componente:
(x-y)+y -2(2x+4y) = x - y + y -4x -8y = (x-4x) + (-y+y-8y) = -3x -8y.
  • Segunda componente:
\tfrac{2x+4y}{2} = x + 2y.
Logo
S\circ T(x;y) = (-3x -8y;\; x+2y).
Isso mostra que, na base canônica, a matriz de S\circ T é exatamente
\left[\begin{array}{cc}-3 & -8 \\[4pt] 1 & 2\end{array}\right],
pois as colunas são as imagens de e_1 e e_2: S\circ T(e_1)=(-3;1) e S\circ T(e_2)=(-8;2).]

Passo 6

Comparando o resultado do cálculo com a matriz dada no enunciado, vemos que coincidem exatamente. Portanto a afirmação é verdadeira. Pode-se usar tanto o método das matrizes (imagens dos vetores canônicos e multiplicação) quanto o de compor as fórmulas e ler os coeficientes — ambos dão o mesmo resultado.

Resposta

Verdadeira. [S\circ T] \;=\; \left[\begin{array}{cc}-3 & -8 \\[4pt] 1 & 2\end{array}\right]]

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