(5,0 pontos) Seja T: R^{3} \rightarrow R^{3} um operador linear tal que [T]=\left[\begin{array}{ccc}1 & -2 & 6 \\\\ 0 & 1 & -3 \\\\ 0 & 0 & 9\end{array}\right], verifique se T é invertível e em caso afirmativo, calcule a inversa T^{-1}.
Passo 1
O enunciado dá um operador linear \,T: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3\, cuja matriz em relação à base canônica é
As perguntas são: (1) verificar se \,T\, é invertível; (2) se for, calcular \,T^{-1}.
Informações relevantes dadas:
A matriz de \,T\, é uma matriz 3\times3 triangular superior com entradas diagonais \,1,\,1,\,9.
Precisamos decidir invertibilidade e, em caso positivo, obter a matriz inversa.]
Passo 2
Conceito útil (explicado passo a passo): um operador linear \,T\, é invertível se e somente se sua matriz A=[T] for invertível. Uma matriz quadrada é invertível exatamente quando seu determinante é diferente de zero. Para matrizes triangulares (superior ou inferior), o determinante é o produto das entradas da diagonal principal.
Aplicando aqui: como [T] é triangular superior, temos
\det([T]) = 1\cdot 1\cdot 9 = 9.
Como \det([T]) = 9 \neq 0, concluímos que \,T\, é invertível. (Pequena motivação: determinante zero significa colunas linearmente dependentes; produto não nulo garante independência.)
Passo 3
Método para calcular a inversa (explicação didática): para achar A^{-1} de uma matriz A, podemos resolver a equação matricial
A X = I,
onde X é a matriz incógnita que vai ser A^{-1}, e as colunas de I são os vetores padrão \,e_1,e_2,e_3. Isso significa resolver, para cada j=1,2,3, o sistema linear
A x^{(j)} = e_j,
onde x^{(j)} será a j-ésima coluna de A^{-1}.
Como A é triangular superior, convém usar retro-substituição (back substitution): resolvemos primeiro a última equação (que só envolve a última incógnita), depois subimos, substituindo já os valores encontrados. Vou aplicar isso coluna a coluna.
Passo 4
Cálculo da primeira coluna de A^{-1}: resolvemos A x = e_1, com x=(x_1,x_2,x_3)^T e e_1=(1,0,0)^T.
Escrevendo as equações linha a linha:
terceira linha: 9x_3 = 0.
segunda linha: x_2 - 3x_3 = 0.
primeira linha: x_1 - 2x_2 + 6x_3 = 1.
Resolver por retro-substituição:
Da terceira linha: x_3 = 0.
Da segunda linha: x_2 = 0.
Da primeira linha: x_1 - 2\cdot 0 + 6\cdot 0 = 1 \Rightarrow x_1 = 1.
Checagem rápida (opcional, mas útil na prova): multiplicando A por essa matriz vemos que cada coluna de A^{-1} satisfaz A x^{(j)}=e_j, então A A^{-1}=I, confirmando que é de fato a inversa.]