(5,0 pontos) Seja T: R^{3} \rightarrow R^{3} um operador linear tal que [T]=\left[\begin{array}{ccc}1 & -2 & 6 \\\\ 0 & 1 & -3 \\\\ 0 & 0 & 9\end{array}\right], verifique se T é invertível e em caso afirmativo, calcule a inversa T^{-1}.

Passo 1

O enunciado dá um operador linear \,T: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3\, cuja matriz em relação à base canônica é
[T]=\begin{pmatrix}1 & -2 & 6 \\[4pt] 0 & 1 & -3 \\[4pt] 0 & 0 & 9\end{pmatrix}.
As perguntas são: (1) verificar se \,T\, é invertível; (2) se for, calcular \,T^{-1}.
Informações relevantes dadas:
  • A matriz de \,T\, é uma matriz 3\times3 triangular superior com entradas diagonais \,1,\,1,\,9.
  • Precisamos decidir invertibilidade e, em caso positivo, obter a matriz inversa.]

Passo 2

Conceito útil (explicado passo a passo): um operador linear \,T\, é invertível se e somente se sua matriz A=[T] for invertível. Uma matriz quadrada é invertível exatamente quando seu determinante é diferente de zero. Para matrizes triangulares (superior ou inferior), o determinante é o produto das entradas da diagonal principal.
Aplicando aqui: como [T] é triangular superior, temos
\det([T]) = 1\cdot 1\cdot 9 = 9.
Como \det([T]) = 9 \neq 0, concluímos que \,T\, é invertível. (Pequena motivação: determinante zero significa colunas linearmente dependentes; produto não nulo garante independência.)

Passo 3

Método para calcular a inversa (explicação didática): para achar A^{-1} de uma matriz A, podemos resolver a equação matricial
A X = I,
onde X é a matriz incógnita que vai ser A^{-1}, e as colunas de I são os vetores padrão \,e_1,e_2,e_3. Isso significa resolver, para cada j=1,2,3, o sistema linear
A x^{(j)} = e_j,
onde x^{(j)} será a j-ésima coluna de A^{-1}.
Como A é triangular superior, convém usar retro-substituição (back substitution): resolvemos primeiro a última equação (que só envolve a última incógnita), depois subimos, substituindo já os valores encontrados. Vou aplicar isso coluna a coluna.

Passo 4

Cálculo da primeira coluna de A^{-1}: resolvemos A x = e_1, com x=(x_1,x_2,x_3)^T e e_1=(1,0,0)^T.
Escrevendo as equações linha a linha:
  • terceira linha: 9x_3 = 0.
  • segunda linha: x_2 - 3x_3 = 0.
  • primeira linha: x_1 - 2x_2 + 6x_3 = 1.
Resolver por retro-substituição:
  • Da terceira linha: x_3 = 0.
  • Da segunda linha: x_2 = 0.
  • Da primeira linha: x_1 - 2\cdot 0 + 6\cdot 0 = 1 \Rightarrow x_1 = 1.
Logo a primeira coluna é
x^{(1)} = \begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix}.]

Passo 5

Cálculo da segunda coluna: resolvemos A x = e_2, com e_2=(0,1,0)^T.
Equações:
  • terceira linha: 9x_3 = 0.
  • segunda linha: x_2 - 3x_3 = 1.
  • primeira linha: x_1 - 2x_2 + 6x_3 = 0.
Retro-substituição:
  • x_3 = 0.
  • x_2 - 3\cdot 0 = 1 \Rightarrow x_2 = 1.
  • x_1 - 2\cdot 1 + 6\cdot 0 = 0 \Rightarrow x_1 = 2.
Então a segunda coluna é
x^{(2)} = \begin{pmatrix}2\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix}.]

Passo 6

Cálculo da terceira coluna: resolvemos A x = e_3, com e_3=(0,0,1)^T.
Equações:
  • terceira linha: 9x_3 = 1.
  • segunda linha: x_2 - 3x_3 = 0.
  • primeira linha: x_1 - 2x_2 + 6x_3 = 0.
Retro-substituição:
  • x_3 = \dfrac{1}{9}.
  • x_2 = 3x_3 = 3\cdot \dfrac{1}{9} = \dfrac{1}{3}.
  • x_1 = 2x_2 - 6x_3 = 2\cdot \dfrac{1}{3} - 6\cdot \dfrac{1}{9} = \dfrac{2}{3} - \dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3} - \dfrac{2}{3} = 0.
Assim a terceira coluna é
x^{(3)} = \begin{pmatrix}0\\[4pt]\tfrac{1}{3}\\[4pt]\tfrac{1}{9}\end{pmatrix}.]

Passo 7

Montando A^{-1} com as colunas encontradas, obtemos
A^{-1} = [T]^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\[4pt] 0 & 1 & \dfrac{1}{3} \\[4pt] 0 & 0 & \dfrac{1}{9} \end{pmatrix}.
Checagem rápida (opcional, mas útil na prova): multiplicando A por essa matriz vemos que cada coluna de A^{-1} satisfaz A x^{(j)}=e_j, então A A^{-1}=I, confirmando que é de fato a inversa.]

Resposta

\,T\, é invertível.
[T]^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\[4pt] 0 & 1 & \dfrac{1}{3} \\[4pt] 0 & 0 & \dfrac{1}{9} \end{pmatrix}]

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