Determine se a afirmação é verdadeira ou falsa. Se for verdadeira, explique por quê.
Se for falsa, explique por quê ou dê um exemplo que refute a afirmação.
A série \sum_{n=1}^{\infty} n^{-\sin 1} é convergente.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
\sum_{n=1}^{\infty}n^{-\sin 1}
é convergente. O conteúdo principal aqui é o teste da p-série, que diz que
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{p}}
converge se, e somente se, p>1.

Passo 2

Identificamos o expoente da nossa série como
p = \sin 1.
Numericamente,
\sin 1 \approx 0,84,
logo p\approx0,84.

Passo 3

Pelo teste da p-série, como p\le1 (aqui p\approx0,84<1), a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{p}}
é divergente.

Resposta

A afirmação é falsa, pois trata-se de uma p-série com p=\sin1<1, a qual diverge.

Exercícios relacionados