Resolva
\frac{d x}{d l}=\frac{t}{x}, x>0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\frac{d x}{d l} = \frac{t}{x}, \quad x>0,
que é uma ODE de primeira ordem e separável. Vamos usar o método de separação de variáveis para encontrar a solução geral x(l).

Passo 2

Começamos por separar as variáveis x e l. Multiplicando ambos os lados por x e por dl, temos
x\,\frac{d x}{d l}\,dl = t\,dl \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = t\,dl.

Passo 3

Agora integramos os dois lados:
\int x\,dx = \int t\,dl.
Como t é constante em relação a l, obtemos
\frac{1}{2}x^2 = t\,l + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Isolando x, e lembrando que x>0, tiramos a raiz positiva:
x^2 = 2\,t\,l + 2C \quad\Longrightarrow\quad x(l) = \sqrt{2\,t\,l + C_1},
sendo C_1 = 2C uma constante arbitrária.

Resposta

x(l) = \sqrt{2\,t\,l + C_1}, \quad C_1 \text{ constante real,} \quad x(l)>0.

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