Resolva
\frac{d y}{d x}=\cos ^{2} y, \frac{\pi}{2}<y<\frac{3 \pi}{2}

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
\frac{dy}{dx} = \cos^2 y,
com a condição de ramo \displaystyle \frac{\pi}{2}<y<\frac{3\pi}{2}.
O conteúdo usado é separação de variáveis: vamos levar todos os termos em y a um lado e em x ao outro, integrar e depois escolher o ramo adequado para obter a solução explícita.

Passo 2

Separe variáveis escrevendo
\frac{dy}{\cos^2 y} = dx.
Repare que \displaystyle \frac{1}{\cos^2 y}=\operatorname{sec}^2 y, logo
\int \operatorname{sec}^2 y \,dy = \int dx.

Passo 3

Calcule as integrais. À esquerda temos
\int \operatorname{sec}^2 y \,dy = \tan y + C_1,
e à direita
\int dx = x + C_2.
Subtraindo constantes, definimos C = C_2 - C_1 e obtemos a forma implícita
\tan y = x + C.

Passo 4

Para explicitar y, aplicamos a inversa da tangente. A função principal \arctan leva valores em (-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}), mas queremos y\in(\tfrac{\pi}{2},\tfrac{3\pi}{2}). Basta então somar \pi ao resultado de \arctan. Assim a solução explícita no ramo pedido é
y(x)=\arctan\bigl(x+C\bigr)+\pi.

Resposta

y(x)=\arctan\bigl(x+C\bigr)+\pi,\qquad C\in\mathbb{R}.

Exercícios relacionados