Determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
Um sistema de duas equações lineares em três variáveis é sempre consistente.
Um sistema de duas equações lineares em três variáveis é sempre consistente.
Passo 1
O enunciado considera um sistema de duas equações lineares em três variáveis
e pergunta se tal sistema é sempre consistente. O conteúdo envolvido é teoria de sistemas lineares, em particular o critério de consistência baseado nos postos das matrizes (coeficientes e ampliada).
Passo 2
Um sistema linear é consistente se, e somente se, o posto da matriz de coeficientes for igual ao posto da matriz ampliada. Geometricamente, cada equação em três variáveis representa um plano em
, e a interseção de dois planos pode ser uma reta, um plano (caso sejam iguais) ou pode não existir (planos paralelos e distintos).
Passo 3
Para que o sistema seja inconsistente, basta que as duas equações definam planos paralelos e distintos, ou seja, que tenham os mesmos coeficientes mas termos constantes diferentes. Nesse caso o posto da matriz de coeficientes é 1, enquanto o posto da matriz ampliada é 2, e portanto não há solução.
Passo 4
Um exemplo concreto de sistema inconsistente é
Aqui o primeiro plano e o segundo plano são paralelos, não existem pontos
que satisfaçam ambas as equações.
Resposta
A afirmação é falsa.