Determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justifique sua resposta.
(d) ( ) Uma equação de reta tangente à parábola
em
é
(d) ( ) Uma equação de reta tangente à parábola
Passo 1
Beleza, vamos analisar o enunciado! Temos que verificar se a equação $ y - 4 = 2x(x + 2) $ é realmente a reta tangente à parábola $ y = x^{2} $ no ponto $ (-2, 4) $. Para isso, precisamos entender conceitos de derivadas para encontrar a inclinação da reta tangente e depois comparar com a equação dada.
Passo 2
Primeiro, vamos confirmar se o ponto $ (-2, 4) $ está na parábola $ y = x^{2} $. Substituindo $ x = -2 $ na equação da parábola:
Então, o ponto está mesmo na parábola. Ótimo!
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a inclinação da reta tangente à parábola no ponto $ (-2, 4) $. Para isso, vamos calcular a derivada de $ y = x^{2} $.
A derivada de $ y $ em relação a $ x $ é:
Passo 4
A inclinação da tangente no ponto $ x = -2 $ é:
Então, a reta tangente tem inclinação -4.
Passo 5
Vamos verificar a equação dada $ y - 4 = 2x(x + 2) $. Vamos simplificar essa equação para a forma padrão $ y = mx + b $:
Essa é a equação de uma parábola, não de uma reta. Uma reta tem a forma $ y = mx + b $, sem o termo $ x^{2} $.
Passo 6
Além disso, comparando a inclinação que encontramos (-4) com a equação simplificada, percebemos que a inclinação da equação dada não corresponde à inclinação da reta tangente.
Resposta
Falsa. A equação $ y - 4 = 2x(x + 2) $ não representa uma reta, mas sim uma parábola, portanto não pode ser a reta tangente à parábola $ y = x^{2} $ no ponto $ (-2, 4) $.