Encontre a transformada de Laplace da seguinte função.
-6 e^-2 x+4 e^-3 x+u5(x)(e^-2 x+10-e^-3 x+15)

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de
-6e^-2x + 4e^-3x + u5(x)l(e^-2x+10 - e^-3x+15r). O conteúdo envolve a definição de transformada de Laplace, propriedade de linearidade e o teorema do deslocamento no tempo (Heaviside).

Passo 2

Aplicando linearidade, separamos em três partes:
  1. L -6e^-2x = -6 cdot 1s+2 = -6s+2.
  2. L 4e^-3x = 4 cdot 1s+3 = 4s+3.

Passo 3

Para u5(x)e^-2x+10 = e^10u5(x)e^-2x, usamos o teorema de deslocamento:
Lua(x)g(x) = e^-as integral0^ ftyg(t+a)e^-stdt
Aqui a=5 e g(x)=e^-2x, mas dá pra calcular direto:
integral5^ inftye^10e^-2xe^-sxdx = e^10integral5^inftye^-(s+2)xdx = e^10e^-(s+2)5s+2 = e^10-5(s+2)s+2 = e^-5ss+2

Passo 4

Para -u5(x)e^-3x+15 = -e^15u5(x)e^-3x o procedimento é análogo:
-integral5^inftye^15e^-3xe^-sxdx = -e^15e^-(s+3)5s+3 = -e^15-5(s+3)s+3 = -e^-5ss+3

Passo 5

Somando tudo, obtemos a transformada da função inteira.

Resposta

-\frac{6}{s+2} + \frac{4}{s+3} + e^{-5s}\left(\frac{1}{s+2} - \frac{1}{s+3}\right)

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