Determine se a série abaixo é convergente ou divergente.
Passo 1
O enunciado pede para analisar a convergência da série alternada
. O assunto é séries numéricas, com ênfase em convergência absoluta e em séries geométricas alternadas. Vamos usar o teste da série geométrica para o valor absoluto dos termos.
Passo 2
O termo geral da série é
. Primeiro observamos o valor absoluto
que é positivo, decrescente e satisfaz
. Isso garante que a série alternada satisfaz a condição de termo geral tendendo a zero.
Passo 3
Para testar convergência absoluta, avaliamos
Sabemos que
é uma série geométrica de razão
, cuja soma vale
Logo
ou seja, a série converge absolutamente.
Passo 4
Como a convergência absoluta é mais forte que a simples convergência, concluímos que a série original
também converge.
Resposta
A série converge absolutamente e, portanto, é convergente.