Determine se a série abaixo é convergente ou divergente.
sumn=1^infty(-1)^n+1 32^n

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série alternada sumn=1^infty(-1)^n+132^n. O assunto é séries numéricas, com ênfase em convergência absoluta e em séries geométricas alternadas. Vamos usar o teste da série geométrica para o valor absoluto dos termos.

Passo 2

O termo geral da série é an = (-1)^n+132^n. Primeiro observamos o valor absoluto
|an| = 32^n
que é positivo, decrescente e satisfaz limntoinfty32^n=0. Isso garante que a série alternada satisfaz a condição de termo geral tendendo a zero.

Passo 3

Para testar convergência absoluta, avaliamos
sumn=1^infty|an| = 3 sumn=1^infty 12^n
Sabemos que sumn=1^inftytfrac12^n é uma série geométrica de razão r=tfrac12, cuja soma vale
sumn=1^infty12^n = tfrac121-tfrac12 = 1
Logo
sumn=1^infty|an| = 3 cdot 1 = 3 < +infty,
ou seja, a série converge absolutamente.

Passo 4

Como a convergência absoluta é mais forte que a simples convergência, concluímos que a série original sumn=1^infty(-1)^n+1tfrac32^n também converge.

Resposta

A série converge absolutamente e, portanto, é convergente.

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