Encontre a transformada de Laplace da seguinte função.
u1(x)(x-1)+e^-x

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função f(x)=u_{1}(x),(x-1)+e^{-x}. O conteúdo aqui é a Transformada de Laplace, em especial a propriedade de deslocamento de tempo (para o termo com u_{1}(x)) e o caso básico L{e^{-ax}}.

Passo 2

Para usar a propriedade de deslocamento: lembramos que se temos u_{a}(t),g(t-a), então
Lua(t),g(t-a)(s)=e^-a sintegral0^inftye^-staug(tau),dtau
No nosso caso, a=1 e g(\tau)=\tau (pois x-1\mapsto \tau). Assim
Lu1(x)(x-1)(s)=e^-sintegral0^inftye^-stautau,dtau
Sabendo que integral0^inftye^-stautau,dtau=1/s^2, concluímos
Lu1(x)(x-1)(s)=e^-ss^2

Passo 3

Agora, para o termo e^{-x}, usamos diretamente a fórmula básica
Le^-ax(s)=1s+a
Aqui a=1, logo
Le^-x(s)=1s+1

Passo 4

Somando as duas contribuições, obtemos a transformada de Laplace de f(x).

Resposta

F(s)=e^-ss^2+1s+1

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