Determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justifique sua resposta.
© ( ) Se g(x)=e^6 x, então lim x 2 g(x)-9(2)x-2=e^12.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nessa questão. A gente precisa determinar se a afirmação é verdadeira ou falsa. O enunciado fala sobre o limite de uma função $ g(x) = e^{6x} $ quando $ x $ se aproxima de 2. A gente vai precisar entender de limites e também de derivadas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o limite que a gente tem:
limx 2 g(x) - g(2)x - 2 = limx 2 e^6x - e^12x - 2
Esse limite aqui tem a forma básica da definição de derivada de uma função $ g(x) $ no ponto $ x = 2 $. Ou seja, estamos calculando $ g’(2) $, a derivada de $ g(x) $ quando $ x = 2 $.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de $ g(x) = e^{6x} $. Sabemos que a derivada de $ e^{kx} $ em relação a $ x $ é $ k e^{kx} $. Então:
g(x) = e^6x
Agora, vamos avaliar essa derivada em $ x = 2 $:
e^kx

Passo 4

A afirmação que a gente está verificando diz que:
limx 2 g(x) - g(2)x - 2 = e^12
Mas a gente acabou de ver que esse limite é igual a $ 6 e^{12} $, não apenas $ e^{12} $. Portanto, a afirmação está errada.

Resposta

Falsa. O limite é igual a $ 6 e^{12} $, não $ e^{12} $.

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