Encontre a transformada de Laplace da seguinte função.
y=upi(x) sen(2 x)

Passo 1

Enunciado: Encontrar a transformada de Laplace de y(x)=upi(x),sin(2x). O conteúdo aqui é a transformada de Laplace com deslocamento no tempo (teorema do 2º deslocamento).

Passo 2

Podemos usar que sin(2x)=sinl(2(x-pi)+2pir)=sinl(2(x-pi)r). Então fica y(x)=upi(x),sinl(2(x-pi)r), exatamente no formato ua(t),f(t-a).

Passo 3

Aplicamos o teorema do 2º deslocamento: Lua(t),f(t-a)(s)=e^-a s,F(s)onde F(s)= Lf(t)(s). Aqui a=pi e f(t)=sin(2t).

Passo 4

Calculamos F(s):
F(s)= Lsin(2t)(s)=2s^2+4
Multiplicando pelo fator e^-pi s, temos a transformada desejada.

Resposta

2e^-pi s/(s^2+4)

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