Determine o raio de convergência e o valor da soma da série, em função de , para a série .
Passo 1
Então, temos uma série infinita da forma . Nosso objetivo aqui é descobrir duas coisas: primeiro, até onde essa série converge, ou seja, qual é o raio de convergência; e segundo, qual é a soma dessa série em função de . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries geométricas e como determinar seu comportamento.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a série de uma forma que fique mais fácil de trabalhar. Observamos que pode ser reescrito como . Assim, a série fica:
Isso é uma série geométrica, que tem a forma geral , onde é o primeiro termo e é a razão comum.
Passo 3
Para séries geométricas, sabemos que elas convergem se a razão satisfaz . No nosso caso, a razão é . Então, para garantir a convergência da série, precisamos que:
Vamos resolver essa desigualdade para encontrar o intervalo de valores de x para o qual a série converge.
Passo 4
Resolvendo a desigualdade:
|x+19| < 1 Rightarrow |x+1| < 9
Isso significa que x+1 deve estar entre -9 e 9:
-9 < x + 1 < 9
Subtraindo 1 de todas as partes:
-10 < x < 8
Portanto, o raio de convergência é 9, já que a série converge dentro de uma distância de 9 unidades do centro da série.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a soma da série. Para uma série geométrica que converge, a soma é dada por:
S = a1 - r
No nosso caso, a série começa no n=1, então o primeiro termo a é (x+19). Assim, a soma da série é:
S = x+191 - x+19 = x+199 - (x+1)9 = x+19 - x - 1 = x+18 - x
Resposta
O raio de convergência da série é 9, e a soma da série em função de x é: