Determine se a afirmação é verdaderira ou falsia, justifique sua resposta.
( ) dd x(tg^2 x)=dd x(sec ^2 x).

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos que verificar se a derivada de tan^2x é igual à derivada de sec^2x. Isso envolve conhecimentos sobre derivadas de funções trigonométricas e a aplicação da regra do poder na derivação.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar tan^2x. Para isso, usamos a regra do poder, que diz que a derivada de u^n é n cdot u^n-1 cdot dudx. Aqui, u = tan x e n = 2.
Então,
ddx(tan^2x) = 2 cdot tan x cdot ddx(tan x)
Sabemos que ddx(tan x) = sec^2x. Substituindo:
ddx(tan^2x) = 2 cdot tan x cdot sec^2x = 2 tan x sec^2x

Passo 3

Agora, vamos derivar sec^2x usando a mesma regra do poder. Aqui, u = sec x e n = 2.
Então,
ddx(sec^2x) = 2 cdot sec x cdot ddx(sec x)
Sabemos que ddx(sec x) = sec x tan x. Substituindo:
ddx(sec^2x) = 2 cdot sec x cdot sec x tan x = 2 sec^2x tan x

Resposta

Comparando as duas derivadas:
ddx(tan^2x) = 2 tan x sec^2x
ddx(sec^2x) = 2 sec^2x tan x
Perceba que 2 tan x sec^2x é igual a 2 sec^2x tan x. Portanto, a afirmação é verdadeira.

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