Uma folha de papelão quadrada com
de área é usada para fazer uma caixa aberta. retirando-se quadrados de mesmo tamanho dos quatro cantos e dobrando-se os lados. Qual é o tamanho dos quadrados que resulta na caixa com maior volume possível?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma folha de papelão quadrada com área de
. A ideia é transformar essa folha em uma caixa aberta cortando quadrados iguais nos quatro cantos e dobrando as laterais. Nosso objetivo é descobrir qual o tamanho desses quadradinhos que vai fazer a caixa ter o maior volume possível.
Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de geometria e funções matemáticas para maximizar o volume. Vamos calcular o volume da caixa em função do tamanho dos quadrados cortados e encontrar o valor que maximiza esse volume.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir o lado da folha quadrada. Como a área é
, o lado
é a raiz quadrada dessa área:
Então, a folha tem
de cada lado.
Passo 3
Agora, vamos supor que cortamos quadrados de lado
em cada canto. Depois de cortar e dobrar, a caixa terá:
- Comprimento:
(porque cortamos de cada lado) - Largura:
(mesma lógica) - Altura:
Passo 4
O volume
da caixa é dado pelo produto dessas três dimensões:
Vamos expandir isso para facilitar as contas:
Então, a função do volume em termos de
é:
Passo 5
Para encontrar o valor de
que maximiza o volume, vamos derivar a função
em relação a
e igualar a derivada a zero. A derivada nos dá a taxa de variação do volume em relação a
.
Primeiro, vamos derivar
:
Agora, igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Passo 6
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
. Podemos simplificar dividindo todos os termos por 4:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos duas soluções:
Passo 7
Agora, precisamos verificar qual desses valores de
realmente maximiza o volume. Sabemos que
não pode ser maior que
, pois cortaríamos mais do que a metade do lado da folha.
Vamos testar
:
E para
:
Claramente,
não faz sentido, pois nossa caixa não teria volume.
Passo 8
Portanto, o tamanho dos quadrados que resulta na caixa com o maior volume possível é aproximadamente
.
Resposta
O tamanho dos quadrados que maximiza o volume da caixa é aproximadamente
.