Uma folha de papelão quadrada com 64 cm^2 de área é usada para fazer uma caixa aberta. retirando-se quadrados de mesmo tamanho dos quatro cantos e dobrando-se os lados. Qual é o tamanho dos quadrados que resulta na caixa com maior volume possível?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma folha de papelão quadrada com área de 64 , cm^2. A ideia é transformar essa folha em uma caixa aberta cortando quadrados iguais nos quatro cantos e dobrando as laterais. Nosso objetivo é descobrir qual o tamanho desses quadradinhos que vai fazer a caixa ter o maior volume possível.
Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de geometria e funções matemáticas para maximizar o volume. Vamos calcular o volume da caixa em função do tamanho dos quadrados cortados e encontrar o valor que maximiza esse volume.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir o lado da folha quadrada. Como a área é 64 , cm^2, o lado L é a raiz quadrada dessa área:
L = raiz64 = 8 , cm
Então, a folha tem 8 , cm de cada lado.

Passo 3

Agora, vamos supor que cortamos quadrados de lado x , cm em cada canto. Depois de cortar e dobrar, a caixa terá:
  • Comprimento: 8 - 2x (porque cortamos x de cada lado)
  • Largura: 8 - 2x (mesma lógica)
  • Altura: x

Passo 4

O volume V da caixa é dado pelo produto dessas três dimensões:
V = (8 - 2x) times (8 - 2x) times x = (8 - 2x)^2 times x
Vamos expandir isso para facilitar as contas:
V = (64 - 32x + 4x^2) times x = 64x - 32x^2 + 4x^3
Então, a função do volume em termos de x é:
V(x) = 4x^3 - 32x^2 + 64x

Passo 5

Para encontrar o valor de x que maximiza o volume, vamos derivar a função V(x) em relação a x e igualar a derivada a zero. A derivada nos dá a taxa de variação do volume em relação a x.
Primeiro, vamos derivar V(x):
V'(x) = dVdx = 12x^2 - 64x + 64
Agora, igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
12x^2 - 64x + 64 = 0

Passo 6

Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de x. Podemos simplificar dividindo todos os termos por 4:
3x^2 - 16x + 16 = 0
Usando a fórmula de Bhaskara:
x = 16 pm raiz(-16)^2 - 4 times 3 times 162 times 3 = 16 pm raiz256 - 1926 = 16 pm raiz646 = 16 pm 86
Então, temos duas soluções:
x1 = 246 = 4 , cm e x2 = 86 approx 1,!333 , cm

Passo 7

Agora, precisamos verificar qual desses valores de x realmente maximiza o volume. Sabemos que x não pode ser maior que 4 , cm, pois cortaríamos mais do que a metade do lado da folha.
Vamos testar x = 1,!333 , cm:
V(1,!333) = 4(1,!333)^3 - 32(1,!333)^2 + 64(1,!333) approx 30,!222 , cm^3
E para x = 4 , cm:
V(4) = 4(4)^3 - 32(4)^2 + 64(4) = 256 - 512 + 256 = 0 , cm^3
Claramente, x = 4 , cm não faz sentido, pois nossa caixa não teria volume.

Passo 8

Portanto, o tamanho dos quadrados que resulta na caixa com o maior volume possível é aproximadamente 1,!333 , cm.

Resposta

O tamanho dos quadrados que maximiza o volume da caixa é aproximadamente 1,!333 , cm.

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