Determine se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Apresente um contraexemplo ou uma justificativa para as falsas.
Não serão consideradas as respostas FALSO sem contra-exemplo, representação gráfica ou justificativa.
Seja f:(a, b) R função limitada e que existe o limite em todo ponto de (a, b), então f é contínua.

Passo 1

Temos uma função f:(a,b)toR limitada e que em cada ponto x0in(a,b) existe limxto x0f(x). A afirmação diz que então f seria contínua, ou seja, que sempre f(x0)=limxto x0f(x).

Passo 2

Para construir um contraexemplo, escolhemos um ponto cin(a,b) e definimos uma função que difere apenas no valor em c, mas cujos limites laterais existem e coincidem. Por exemplo, em (0,1) tomamos
f(x)= 0,&xneqtfrac12, 1,&x=tfrac12

Passo 3

Vamos verificar que esta f satisfaz as hipóteses mas não é contínua:
  • f é limitada, pois 0<= f(x)<=1 para todo x.
  • Se x0neqtfrac12, num entorno de x0 a função é constantemente zero, logo limxto x0f(x)=0=f(x0).
  • Se x0=tfrac12, para todo xneqtfrac12 próximo de tfrac12 temos f(x)=0, então limxtotfrac12f(x)=0 existe, embora f(tfrac12)=1.
    Assim, o limite existe em todo ponto mas f(tfrac12)neqlimxtotfrac12f(x), mostrando descontinuidade.

Passo 4

Portanto, a afirmação é falsa, pois este contraexemplo satisfaz as hipóteses (função limitada e limites existentes em todo ponto) mas não é contínuo em c=tfrac12.

Resposta

Falsa. Contrárioexemplo: função que vale 0 para xneqtfrac12 e 1 em x=tfrac12, cujos limites existem em todo ponto mas falha continuidade em tfrac12.

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