Determine se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Apresente um contraexemplo ou uma justificativa para as falsas.
Não serão consideradas as respostas FALSO sem contra-exemplo, representação gráfica ou justificativa.
Seja
função limitada e que existe o limite em todo ponto de
, então
é contínua.
Não serão consideradas as respostas FALSO sem contra-exemplo, representação gráfica ou justificativa.
Seja
Passo 1
Temos uma função
limitada e que em cada ponto
existe
. A afirmação diz que então
seria contínua, ou seja, que sempre
.
Passo 2
Para construir um contraexemplo, escolhemos um ponto
e definimos uma função que difere apenas no valor em
, mas cujos limites laterais existem e coincidem. Por exemplo, em
tomamos
Passo 3
Vamos verificar que esta
satisfaz as hipóteses mas não é contínua:
-
é limitada, pois para todo . - Se
, num entorno de a função é constantemente zero, logo . - Se
, para todo próximo de temos , então existe, embora .
Assim, o limite existe em todo ponto mas, mostrando descontinuidade.
Passo 4
Portanto, a afirmação é falsa, pois este contraexemplo satisfaz as hipóteses (função limitada e limites existentes em todo ponto) mas não é contínuo em
.
Resposta
Falsa. Contrárioexemplo: função que vale 0 para
e 1 em
, cujos limites existem em todo ponto mas falha continuidade em
.