Determine se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Se forem verdadeiras explique por quê, caso contrário explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
( ) y(x)=e^{-2 x}, é uma solução para a EDO y^{\prime}-y=0.

Passo 1

O enunciado dá a função y(x)=e^{-2x} e a equação diferencial ordinária (EDO) a verificar: y'-y=0. A pergunta é: a afirmação " y(x)=e^{-2x} é uma solução da EDO y'-y=0 " é verdadeira ou falsa? Devemos decidir e justificar (ou dar um contraexemplo).

Passo 2

Como checar se uma função é solução de uma EDO? Método direto: calcular a derivada da função candidata e substituir na equação; se a igualdade for satisfeita para todo x do domínio, a função é solução. Vou lembrar um fato importante sobre derivadas de exponenciais: se u(x) é uma função, a derivada de e^{u(x)} é dada pela regra da cadeia:
\frac{d}{dx}e^{u(x)}=u'(x)\,e^{u(x)}.
Exemplo rápido: se u(x)=3x, então \frac{d}{dx}e^{3x}=3e^{3x}.

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia à função y(x)=e^{-2x}: aqui u(x)=-2x e u'(x)=-2. Logo a derivada é
y'(x)=(-2)\,e^{-2x}.
Escrevendo de forma explícita: y'(x)=-2e^{-2x}.

Passo 4

Agora substituímos y e y' na expressão da EDO y'-y:
y'-y = (-2e^{-2x}) - (e^{-2x}).
Fatorando e^{-2x}:
y'-y = (-2-1)\,e^{-2x} = -3\,e^{-2x}.
Observação importante: para todo x, e^{-2x}>0, portanto -3e^{-2x} nunca é zero. Conclusão: y'-y não é igual a 0; na verdade y'-y=-3e^{-2x}\neq0 para todo x. Logo y(x)=e^{-2x} NÃO satisfaz a EDO.

Passo 5

Para fixar a ideia: qual é a solução geral da EDO y'-y=0? Reescrevendo, temos y' = y. Esta é uma EDO separável: \frac{dy}{dx}=y implica \frac{dy}{y}=dx. Integrando ambos os lados:
\int \frac{dy}{y} = \int dx \implies \ln|y| = x + C.
Exponentiando,
y = Ce^{x},
onde C é constante. Uma função é solução de y'-y=0 se e somente se for da forma Ce^{x}. Se tentássemos ajustar e^{-2x} a essa forma teríamos e^{-2x}=Ce^{x}, ou C=e^{-3x}, mas isso não é constante — portanto e^{-2x} não pertence à família Ce^{x}.

Passo 6

Só para contrastar, um exemplo que funciona: y(x)=e^{x}. Calculando y'(x)=e^{x} e substituindo em y'-y obtemos e^{x}-e^{x}=0, logo e^{x} é solução. Mais geralmente y(x)=2e^{x} também é solução, pois y' = 2e^{x} e y'-y=0.

Resposta

Falsa

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