Determine se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Se forem verdadeiras explique por quê, caso contrário explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
( )
, é uma solução para a EDO
.
( )
Passo 1
O enunciado dá a função
e a equação diferencial ordinária (EDO) a verificar:
. A pergunta é: a afirmação "
é uma solução da EDO
" é verdadeira ou falsa? Devemos decidir e justificar (ou dar um contraexemplo).
Passo 2
Como checar se uma função é solução de uma EDO? Método direto: calcular a derivada da função candidata e substituir na equação; se a igualdade for satisfeita para todo
do domínio, a função é solução. Vou lembrar um fato importante sobre derivadas de exponenciais: se
é uma função, a derivada de
é dada pela regra da cadeia:
Exemplo rápido: se
, então
.
Passo 3
Aplicando a regra da cadeia à função
: aqui
e
. Logo a derivada é
Escrevendo de forma explícita:
.
Passo 4
Agora substituímos
e
na expressão da EDO
:
Fatorando
:
Observação importante: para todo
,
, portanto
nunca é zero. Conclusão:
não é igual a
; na verdade
para todo
. Logo
NÃO satisfaz a EDO.
Passo 5
Para fixar a ideia: qual é a solução geral da EDO
? Reescrevendo, temos
. Esta é uma EDO separável:
implica
. Integrando ambos os lados:
Exponentiando,
onde
é constante. Uma função é solução de
se e somente se for da forma
. Se tentássemos ajustar
a essa forma teríamos
, ou
, mas isso não é constante — portanto
não pertence à família
.
Passo 6
Só para contrastar, um exemplo que funciona:
. Calculando
e substituindo em
obtemos
, logo
é solução. Mais geralmente
também é solução, pois
e
.
Resposta
Falsa