(3,0 pontos) Lei de Resfriamento de Newton: a taxa segundo a qual temperatura de um corpo varia é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e a temperatura do meio (temperatura ambiente) que o rodeia.
Com base no exposto acima responda:
Um corpo estava com temperatura de 100^{\circ} C e foi deixado em uma temperatura ambiente de 38^{\circ} \mathrm{C}. Considerando que após 3 minutos ele estava com temperatura de 90^{\circ} \mathrm{C}, determine a sua temperatura após 10 minutos?

Passo 1

O enunciado pede que a gente determine a temperatura do corpo após 10 minutos, sabendo que:
\begin{aligned} &\text{temperatura inicial: }T(0)=100^\circ\mathrm{C},\\\ &\text{temperatura ambiente: }T_a=38^\circ\mathrm{C},\\\ &\text{temperatura aos 3 minutos: }T(3)=90^\circ\mathrm{C}. \end{aligned}
Resumo do que se pede: encontrar T(10). Essas são todas as informações relevantes dadas.

Passo 2

Apresentando a lei de resfriamento de Newton de forma matemática: ela diz que a taxa de variação da temperatura do corpo é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e a temperatura do meio. Escrevemos isso como uma equação diferencial:
\frac{dT}{dt} = -k\bigl(T(t)-T_a\bigr),
onde:
  • T(t) é a temperatura do corpo no tempo t (em minutos);
  • T_a é a temperatura ambiente (constante), aqui T_a=38^\circ\mathrm{C};
  • k>0 é a constante de proporcionalidade (taxa de resfriamento) — é uma constante positiva que precisamos determinar;
  • o sinal negativo indica que, quando T(t)>T_a, a temperatura do corpo diminui.
Vou resolver essa equação diferencial passo a passo.

Passo 3

Resolver a equação diferencial por separação de variáveis. Começamos escrevendo:
\frac{dT}{dt} = -k(T-T_a).
Separamos as variáveis T e t:
\frac{dT}{T-T_a} = -k\,dt.
Agora integramos os dois lados (integrais indefinidas):
\int \frac{dT}{T-T_a} = \int -k\,dt.
A integral do lado esquerdo é \ln|T-T_a| e do lado direito é -kt + C (constante de integração). Assim:
\ln|T-T_a| = -kt + C.
Aplicando exponencial em ambos os lados obtemos a forma geral:
T(t)-T_a = C_1 e^{-kt},
onde C_1 = \pm e^{C} é outra constante real. Reescrevendo:
T(t) = T_a + C_1 e^{-kt}.

Passo 4

Usamos a condição inicial para achar C_1. Em t=0, T(0)=100^\circ\mathrm{C}, então:
100 = T_a + C_1 e^{0} = 38 + C_1.
Logo
C_1 = 100-38 = 62.
Portanto o modelo fica
T(t) = 38 + 62\,e^{-kt}.

Passo 5

Agora usamos a informação T(3)=90^\circ\mathrm{C} para determinar k. Substituindo t=3:
90 = 38 + 62\,e^{-3k}.
Isolando a exponencial:
62\,e^{-3k} = 90-38 = 52.
e^{-3k} = \frac{52}{62} = \frac{26}{31}.
Tomando logaritmo natural:
-3k = \ln\!\left(\frac{26}{31}\right),
logo
k = -\frac{1}{3}\ln\!\left(\frac{26}{31}\right) = \frac{1}{3}\ln\!\left(\frac{31}{26}\right).
Se quisermos um valor numérico aproximado,
k \approx \frac{1}{3}\cdot 0{,}175890666\approx 0{,}05863\\ \text{(por minuto)}.
(Deu essa aproximação ao calcular \ln(31/26)\approx 0{,}175890666.)

Passo 6

Com k conhecido, calculamos T(10) usando o modelo
T(10)=38 + 62\,e^{-10k}.
Podemos escrever e^{-10k} usando a relação encontrada em t=3. Como e^{-3k}=\dfrac{26}{31}, temos
e^{-10k} = \bigl(e^{-3k}\bigr)^{10/3} = \left(\frac{26}{31}\right)^{10/3}.
Então
T(10) = 38 + 62\left(\frac{26}{31}\right)^{10/3}.
Agora a aproximação numérica: usando k\approx 0{,}05863, temos
e^{-10k}\approx e^{-0{,}5863}\approx 0{,}556697,
portanto
62\cdot e^{-10k}\approx 62\cdot 0{,}556697\approx 34{,}489.
Somando a temperatura ambiente:
T(10)\approx 38 + 34{,}489 \approx 72{,}489^\circ\mathrm{C}.

Passo 7

Interpretação e incentivo: o resultado diz que, após 10 minutos, o corpo já esfriou bastante, de 100^\circ\mathrm{C} para cerca de 72{,}49^\circ\mathrm{C}. Se você fizer esse tipo de questão na prova, siga sempre estes passos: escrever a equação diferencial, separar variáveis, usar a condição inicial para a constante multiplicativa e depois usar qualquer ponto extra para achar k. Você já domina o procedimento — falta só prática e vai dar certo!

Resposta

T(10)\approx 72{,}49^\circ\mathrm{C}

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