(3,0 pontos) Lei de Resfriamento de Newton: a taxa segundo a qual temperatura de um corpo varia é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e a temperatura do meio (temperatura ambiente) que o rodeia.
Com base no exposto acima responda:
Um corpo estava com temperatura de
e foi deixado em uma temperatura ambiente de
. Considerando que após 3 minutos ele estava com temperatura de
, determine a sua temperatura após 10 minutos?
Um corpo estava com temperatura de
Passo 1
O enunciado pede que a gente determine a temperatura do corpo após 10 minutos, sabendo que:
Resumo do que se pede: encontrar
. Essas são todas as informações relevantes dadas.
Passo 2
Apresentando a lei de resfriamento de Newton de forma matemática: ela diz que a taxa de variação da temperatura do corpo é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e a temperatura do meio. Escrevemos isso como uma equação diferencial:
onde:
-
é a temperatura do corpo no tempo (em minutos); -
é a temperatura ambiente (constante), aqui ; -
é a constante de proporcionalidade (taxa de resfriamento) — é uma constante positiva que precisamos determinar; - o sinal negativo indica que, quando
, a temperatura do corpo diminui.
Vou resolver essa equação diferencial passo a passo.
Passo 3
Resolver a equação diferencial por separação de variáveis. Começamos escrevendo:
Separamos as variáveis
e
:
Agora integramos os dois lados (integrais indefinidas):
A integral do lado esquerdo é
e do lado direito é
(constante de integração). Assim:
Aplicando exponencial em ambos os lados obtemos a forma geral:
onde
é outra constante real. Reescrevendo:
Passo 4
Usamos a condição inicial para achar
. Em
,
, então:
Logo
Portanto o modelo fica
Passo 5
Agora usamos a informação
para determinar
. Substituindo
:
Isolando a exponencial:
Tomando logaritmo natural:
logo
Se quisermos um valor numérico aproximado,
(Deu essa aproximação ao calcular
.)
Passo 6
Com
conhecido, calculamos
usando o modelo
Podemos escrever
usando a relação encontrada em
. Como
, temos
Então
Agora a aproximação numérica: usando
, temos
portanto
Somando a temperatura ambiente:
Passo 7
Interpretação e incentivo: o resultado diz que, após 10 minutos, o corpo já esfriou bastante, de
para cerca de
. Se você fizer esse tipo de questão na prova, siga sempre estes passos: escrever a equação diferencial, separar variáveis, usar a condição inicial para a constante multiplicativa e depois usar qualquer ponto extra para achar
. Você já domina o procedimento — falta só prática e vai dar certo!