Determine se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Se forem verdadeiras explique por quê, caso contrário explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
( ) A EDO
é linear.
( ) A EDO
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a afirmação abaixo é verdadeira ou falsa:
Informações dadas:
- A equação diferencial ordinária dada é
. - A incógnita é a função
. - Não há outras condições iniciais ou domínio explicitado (nota: se precisarmos dividir por
teremos que assumir ).
Passo 2
O que significa uma EDO ser linear (explicação didática)?
- Para uma equação diferencial de primeira ordem, dizemos que ela é linear quando pode ser escrita na forma
onde
e
são funções que dependem só de
(podem ser contínuas, etc.), e a incógnita
e sua derivada aparecem apenas de forma linear — isto é, não aparecem potências de
(como
,
), nem produtos entre
e
, nem funções não lineares de
.
- Em termos gerais, linearidade significa: somas e multiplicações por funções de
só; nada como com , nem termos do tipo , , etc.
Passo 3
Vamos pôr a equação dada na forma padrão para comparar com a definição. Partindo de
se
podemos dividir tudo por
e obter a forma normalizada
Aqui identifiquei
e o termo do lado direito é
.
Passo 4
Agora apliquei a definição: a equação só seria linear se o lado direito fosse uma função de
apenas (ou seja, algo do tipo
), e não dependesse de potências de
diferentes de
. Mas o lado direito é
, que depende de
— uma potência de
diferente de
. Logo a função incógnita aparece de forma não linear (tem
). Portanto a equação não é linear.
Passo 5
Para reforçar o entendimento (e te ajudar na prova): embora não seja linear, esta equação é do tipo Bernoulli, que é um caso clássico e que admite uma redução a uma EDO linear por substituição. A equação no formato
é uma equação de Bernoulli. No nosso caso
,
e
.
A técnica: fazer a substituição
Vamos calcular
em função de
:
Isolando
obtemos
. Substituindo em
temos
Dividindo por
(assumindo
localmente) e lembrando que
, vem
Multiplicando por
,
que já é uma equação linear de primeira ordem para
. Assim, mesmo que a equação original seja não linear, existe um procedimento padrão para transformá‑la numa linear (isso mostra bem a diferença entre “não linear” e “impossível de tratar”).
Passo 6
(Só para completar e mostrar a solução após linearizar — é útil para a prova.)
Resolver : o fator integrante é
Resolver
Multiplicando a equação por
:
Integrando:
Voltando a
pela substituição
:
com as observações habituais sobre domínios (precisamos de
e
para que
esteja bem definida).
Resposta
Falsa