Determine se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Se forem verdadeiras explique por quê, caso contrário explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
( ) A EDO x y^{\prime}+y=x^{2} y^{2} é linear.

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a afirmação abaixo é verdadeira ou falsa:
\text{( ) A EDO }x\,y'+y=x^{2}y^{2}\text{ é linear.}é
Informações dadas:
  • A equação diferencial ordinária dada é \;x\,y'+y=x^{2}y^{2}\;.
  • A incógnita é a função y=y(x).
  • Não há outras condições iniciais ou domínio explicitado (nota: se precisarmos dividir por x teremos que assumir x\neq0).

Passo 2

O que significa uma EDO ser linear (explicação didática)?
  • Para uma equação diferencial de primeira ordem, dizemos que ela é linear quando pode ser escrita na forma
y' + p(x)\,y = q(x),
onde p(x) e q(x) são funções que dependem só de x (podem ser contínuas, etc.), e a incógnita y e sua derivada aparecem apenas de forma linear — isto é, não aparecem potências de y (como y^2, y^3), nem produtos entre y e y', nem funções não lineares de y.
  • Em termos gerais, linearidade significa: somas e multiplicações por funções de x só; nada como y^n com n\neq1, nem termos do tipo \sin(y), y\,y', etc.

Passo 3

Vamos pôr a equação dada na forma padrão para comparar com a definição. Partindo de
x\,y'+y=x^{2}y^{2},
se x\neq0 podemos dividir tudo por x e obter a forma normalizada
y' + \frac{1}{x}\,y = x\,y^{2}.
Aqui identifiquei p(x)=\dfrac{1}{x} e o termo do lado direito é x\,y^{2}.

Passo 4

Agora apliquei a definição: a equação só seria linear se o lado direito fosse uma função de x apenas (ou seja, algo do tipo q(x)), e não dependesse de potências de y diferentes de 1. Mas o lado direito é x\,y^{2}, que depende de y^{2} — uma potência de y diferente de 1. Logo a função incógnita aparece de forma não linear (tem y^{2}). Portanto a equação não é linear.

Passo 5

Para reforçar o entendimento (e te ajudar na prova): embora não seja linear, esta equação é do tipo Bernoulli, que é um caso clássico e que admite uma redução a uma EDO linear por substituição. A equação no formato
y' + p(x)\,y = q(x)\,y^{n}
é uma equação de Bernoulli. No nosso caso p(x)=\dfrac{1}{x}, q(x)=x e n=2.
A técnica: fazer a substituição
u = y^{1-n} = y^{1-2} = y^{-1}.
Vamos calcular u' em função de y':
u = y^{-1}\quad\Rightarrow\quad u' = -y^{-2}\,y'.
Isolando y' obtemos y' = -y^{2}\,u'. Substituindo em y' + \dfrac{1}{x}y = x y^{2} temos
- y^{2}\,u' + \frac{1}{x}\,y = x\,y^{2}.
Dividindo por y^{2} (assumindo y\neq0 localmente) e lembrando que y^{-1}=u, vem
- u' + \frac{1}{x}\,u = x.
Multiplicando por -1,
u' - \frac{1}{x}\,u = -x,
que já é uma equação linear de primeira ordem para u(x). Assim, mesmo que a equação original seja não linear, existe um procedimento padrão para transformá‑la numa linear (isso mostra bem a diferença entre “não linear” e “impossível de tratar”).

Passo 6

(Só para completar e mostrar a solução após linearizar — é útil para a prova.)
Resolver u' - \dfrac{1}{x}u = -x: o fator integrante é
\mu(x)=\exp\!\left(\int -\frac{1}{x}\,dx\right)=\exp(-\ln|x|)=\frac{1}{x}\quad(\text{para }x\neq0).
Multiplicando a equação por \mu:
\frac{1}{x}u' - \frac{1}{x^{2}}u = -1 \quad\Longrightarrow\quad \left(\frac{u}{x}\right)' = -1.
Integrando:
\frac{u}{x} = -x + C \quad\Rightarrow\quad u = -x^{2} + Cx.
Voltando a y pela substituição y = u^{-1}:
y(x)=\frac{1}{-x^{2}+Cx},
com as observações habituais sobre domínios (precisamos de x\neq0 e u\neq0 para que y esteja bem definida).

Resposta

Falsa

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