Resolva as equações abaixo:(4pt)
(5 / 16)^{5 x}=3,20^{4 x+10}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
\left(\frac{5}{16}\right)^{5x}=3,20^{\,4x+10}.
Informações dadas e objetivo:
\;1.\ A incógnita é x.\n
\;2.\ O lado esquerdo tem a base \frac{5}{16} elevada a 5x.\n
\;3.\ O lado direito aparece como 3,20^{\,4x+10}. Em português, 3,20 é o número decimal 3{,}20 = 3{,}2.\n
\;4.\ Precisamos encontrar todos os x reais que satisfazem essa igualdade.

Passo 2

Primeiro vou transformar o decimal 3{,}2 em fração para facilitar a comparação entre bases.
3{,}2 = \frac{32}{10} = \frac{16}{5}.
Logo o lado direito é \left(\dfrac{16}{5}\right)^{4x+10}.

Passo 3

Reescrevo a equação com essa fração:
\left(\frac{5}{16}\right)^{5x}=\left(\frac{16}{5}\right)^{4x+10}.

Passo 4

Note a relação entre \dfrac{5}{16} e \dfrac{16}{5}. Temos
\frac{5}{16}=\left(\frac{16}{5}\right)^{-1},
porque a^{-1}=\dfrac{1}{a}. Exemplo simples: 2^{-1}=\dfrac{1}{2}.

Passo 5

Uso a propriedade de potências \big(a^{b}\big)^{c}=a^{bc} para reescrever o lado esquerdo:
\left(\frac{5}{16}\right)^{5x}=\left(\left(\frac{16}{5}\right)^{-1}\right)^{5x}=\left(\frac{16}{5}\right)^{-5x}.
(Ex.: (2^3)^2=2^{6}.)

Passo 6

Substituindo na equação obtemos
\left(\frac{16}{5}\right)^{-5x}=\left(\frac{16}{5}\right)^{4x+10}.
Como a base \dfrac{16}{5} é positiva e diferente de 1, podemos usar o fato: se a^{u}=a^{v} com a>0 e a\neq1, então u=v. Portanto igualam-se os expoentes:
-5x=4x+10.

Passo 7

Agora resolvo a equação linear para x:
-5x=4x+10 \Rightarrow -5x-4x=10 \Rightarrow -9x=10 \Rightarrow x=-\frac{10}{9}.

Passo 8

Faço uma verificação rápida para ter certeza: calculemos os expoentes com x=-\dfrac{10}{9}.
5x=5\left(-\frac{10}{9}\right)=-\frac{50}{9}, \qquad 4x+10=4\left(-\frac{10}{9}\right)+10=-\frac{40}{9}+\frac{90}{9}=\frac{50}{9}.
Então o lado esquerdo vira \left(\dfrac{5}{16}\right)^{-\frac{50}{9}}=\left(\dfrac{16}{5}\right)^{\frac{50}{9}}, que é exatamente o lado direito. Portanto a solução confere.

Resposta

x=-\dfrac{10}{9}

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