Determine se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando:
existe.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se o limite
existe. Informações dadas importantes:
- A função é a razão entre o numerador
e o denominador . - O ponto de interesse é
. - Precisamos decidir se o limite existe (tem valor único) quando
tende a .
Passo 2
Vamos usar a expansão em série de Taylor de
(seno) em torno de zero. A expansão conhecida e útil é
onde
significa uma função que, dividida por
, tende a zero quando
. Em palavras: para pequenos
,
é
menos um termo cúbico
mais termos que são muito menores que
.
Passo 3
Definimos
Queremos aplicar a expansão de
com esse
. Primeiro estimamos a ordem de
quando
. Seja
. Então
e
, logo
Assim
quando
. Em particular
.
Passo 4
Aplicando a expansão de Taylor em
obtemos
Substituindo
e subtraindo
, o numerador vira
Simplificando
e reorganizando,
Passo 5
Agora dividimos pelo denominador
. Usando que
e que
, obtemos
Como
, os dois últimos termos têm ordem
e
, isto é,
portanto ao ir para
esses termos tendem a zero. Assim
Passo 6
A expressão principal restante é
Podemos escrever isso em coordenadas polares
,
. Então
Esse valor depende do ângulo
. Como os termos de erro vão para zero, o limite da função original ao longo de uma reta que faz ângulo
com o eixo
tende para
.
Passo 7
Para mostrar explicitamente que não há um único valor limite, basta escolher duas direções que deem valores distintos. Por exemplo:
- Ao longo do eixo
(ou seja , ):
- Ao longo do eixo
(ou seja , ):
Como os limites ao longo desses caminhos são diferentes (
e
), o limite total quando
não pode existir.
Resposta
Não existe.