Determine se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando:
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{\operatorname{sen}\left(x-x^{2}+y^{2}\right)-x}{x^{2}+y^{2}} existe.

Passo 1

O enunciado pede para determinar se o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{\operatorname{sen}\!\big(x-x^{2}+y^{2}\big)-x}{x^{2}+y^{2}}
existe. Informações dadas importantes:
  • A função é a razão entre o numerador \operatorname{sen}\!\big(x-x^{2}+y^{2}\big)-x e o denominador x^{2}+y^{2}.
  • O ponto de interesse é (x,y)=(0,0).
  • Precisamos decidir se o limite existe (tem valor único) quando (x,y) tende a (0,0).

Passo 2

Vamos usar a expansão em série de Taylor de \operatorname{sen} (seno) em torno de zero. A expansão conhecida e útil é
\operatorname{sen}(t)=t-\frac{t^{3}}{6}+o(t^{3})\quad\text{quando }t\to0,
onde o(t^{3}) significa uma função que, dividida por t^{3}, tende a zero quando t\to0. Em palavras: para pequenos t, \operatorname{sen}(t) é t menos um termo cúbico \tfrac{t^{3}}{6} mais termos que são muito menores que t^{3}.

Passo 3

Definimos
t=x-x^{2}+y^{2}.
Queremos aplicar a expansão de \operatorname{sen}(t) com esse t. Primeiro estimamos a ordem de t quando (x,y)\to(0,0). Seja r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}. Então |x|\le r e |y|\le r, logo
|t| \le |x| + x^{2} + y^{2} \le r + r^{2} + r^{2} = r + 2r^{2}.
Assim t=O(r) quando r\to0. Em particular t^{3}=O(r^{3}).

Passo 4

Aplicando a expansão de Taylor em t obtemos
\operatorname{sen}(t)=t-\frac{t^{3}}{6}+o(t^{3}).
Substituindo t=x-x^{2}+y^{2} e subtraindo x, o numerador vira
\operatorname{sen}(x-x^{2}+y^{2})-x = \big(x-x^{2}+y^{2}\big)-\frac{\big(x-x^{2}+y^{2}\big)^{3}}{6}+o\big((x-x^{2}+y^{2})^{3}\big)-x.
Simplificando x e reorganizando,
\operatorname{sen}(x-x^{2}+y^{2})-x = -x^{2}+y^{2} -\frac{\big(x-x^{2}+y^{2}\big)^{3}}{6} + o\big((x-x^{2}+y^{2})^{3}\big).

Passo 5

Agora dividimos pelo denominador x^{2}+y^{2}. Usando que (x-x^{2}+y^{2})^{3}=O(r^{3}) e que o\big((x-x^{2}+y^{2})^{3}\big)=o(r^{3}), obtemos
\frac{\operatorname{sen}(x-x^{2}+y^{2})-x}{x^{2}+y^{2}} = \frac{-x^{2}+y^{2}}{x^{2}+y^{2}} \;-\; \frac{1}{6}\,\frac{\big(x-x^{2}+y^{2}\big)^{3}}{x^{2}+y^{2}} \;+\; \frac{o(r^{3})}{x^{2}+y^{2}}.
Como x^{2}+y^{2}=r^{2}, os dois últimos termos têm ordem O(r) e o(1), isto é,
\frac{1}{6}\frac{\big(x-x^{2}+y^{2}\big)^{3}}{x^{2}+y^{2}} = O(r)\quad\text{e}\quad \frac{o(r^{3})}{r^{2}}=o(1),
portanto ao ir para (0,0) esses termos tendem a zero. Assim
\frac{\operatorname{sen}(x-x^{2}+y^{2})-x}{x^{2}+y^{2}} = \frac{y^{2}-x^{2}}{x^{2}+y^{2}} + o(1).

Passo 6

A expressão principal restante é
\frac{y^{2}-x^{2}}{x^{2}+y^{2}}.
Podemos escrever isso em coordenadas polares x=r\cos\theta, y=r\sin\theta. Então
\frac{y^{2}-x^{2}}{x^{2}+y^{2}} = \frac{r^{2}\sin^{2}\theta - r^{2}\cos^{2}\theta}{r^{2}} = \sin^{2}\theta - \cos^{2}\theta.
Esse valor depende do ângulo \theta. Como os termos de erro vão para zero, o limite da função original ao longo de uma reta que faz ângulo \theta com o eixo x tende para \sin^{2}\theta-\cos^{2}\theta.

Passo 7

Para mostrar explicitamente que não há um único valor limite, basta escolher duas direções que deem valores distintos. Por exemplo:
  • Ao longo do eixo x (ou seja y=0, \theta=0):
\sin^{2}0-\cos^{2}0 = 0-1 = -1.
  • Ao longo do eixo y (ou seja x=0, \theta=\tfrac{\pi}{2}):
\sin^{2}\tfrac{\pi}{2}-\cos^{2}\tfrac{\pi}{2} = 1-0 = 1.
Como os limites ao longo desses caminhos são diferentes ( -1 e 1), o limite total quando (x,y)\to(0,0) não pode existir.

Resposta

Não existe.

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