Mostre que os limites abaixo não existem usando a regra dos dois caminhos:
\lim _{(x, y) \rightarrow(2,0)} \frac{x y-2 y}{x^{2}+y^{2}-4 x+4}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o limite
\lim_{(x,y)\to(2,0)} \frac{xy-2y}{x^{2}+y^{2}-4x+4}
não existe, usando a regra dos dois caminhos.
Informações dadas: a função é \dfrac{xy-2y}{x^{2}+y^{2}-4x+4} e o ponto de interesse é (2,0). Não há outras condições. A tarefa é provar que, ao aproximar (x,y) de (2,0) por dois caminhos diferentes, obtemos limites distintos.

Passo 2

Primeiro vamos simplificar a expressão, fatorando termos óbvios — isso facilita muito a análise de caminhos.
O numerador é
xy-2y = y(x-2).
O denominador é
x^{2}+y^{2}-4x+4 = (x^{2}-4x+4)+y^{2} = (x-2)^{2}+y^{2}.
Portanto a função pode ser reescrita como
\frac{xy-2y}{x^{2}+y^{2}-4x+4}=\frac{y(x-2)}{(x-2)^{2}+y^{2}}.
É útil fazer a substituição
h = x-2,\qquad k = y,
então o ponto (x,y)\to(2,0) vira (h,k)\to(0,0) e a função fica
f(h,k)=\frac{hk}{h^{2}+k^{2}}.
Essa forma já é clássica para testar dependência do caminho: o valor de f(h,k) frequentemente depende da relação entre h e k quando (h,k)\to(0,0).

Passo 3

Vou explicar rapidamente a ideia da “regra dos dois caminhos” (a parte teórica que você precisa entender): se o limite de f(h,k) existisse em (0,0), então quaisquer sequências (h_n,k_n)\to(0,0) que se aproximem do ponto deveriam produzir o mesmo valor limite. Logo, para provar que o limite não existe basta encontrar dois caminhos (duas parametrizações que tendem ao mesmo ponto) que produzam limites diferentes. É um método direto e muito usado em provas de limites em duas variáveis.
Agora vamos aplicar isso com dois caminhos simples.

Passo 4

Caminho 1: aproximação sobre a reta y=0. Em termos de (h,k) isso é k=0. Substituindo em f temos, para h\neq 0,
f(h,0)=\frac{h\cdot 0}{h^{2}+0^{2}}=0.
Portanto, ao aproximar (h,k) por pontos com k=0 (isto é, (x,y) com y=0 e x\to2), o valor da função é sempre 0 e o limite é
\lim_{(h,k)\to(0,0),\,k=0} f(h,k)=0.

Passo 5

Caminho 2: aproximação sobre a reta y=x-2. Em termos de (h,k) isso é k=h. Substituindo em f temos, para h\neq 0,
f(h,h)=\frac{h\cdot h}{h^{2}+h^{2}}=\frac{h^{2}}{2h^{2}}=\frac{1}{2}.
Portanto, ao aproximar (h,k) por pontos com k=h (isto é, (x,y) com y=x-2 e x\to2), o valor da função é constantemente \tfrac{1}{2} e o limite é
\lim_{(h,k)\to(0,0),\,k=h} f(h,k)=\frac{1}{2}.

Passo 6

Confrontando os dois caminhos: pelo Caminho 1 o limite é 0 e pelo Caminho 2 o limite é \tfrac{1}{2}. Como esses valores são diferentes, a regra dos dois caminhos diz que o limite total não existe. Expliquei acima por que essa diferença prova a inexistência: se o limite existisse, teria de ser o mesmo independentemente do caminho escolhido.
(opcional, para intuição extra) Podemos também usar coordenadas polares centradas em (2,0): h=r\cos\theta, k=r\sin\theta. A função passa a ser
\frac{hk}{h^{2}+k^{2}}=\frac{r^{2}\cos\theta\sin\theta}{r^{2}}=\cos\theta\sin\theta=\tfrac{1}{2}\sin(2\theta),
que depende de \theta. Como o valor depende da direção \theta, não há valor único quando r\to0, o que confirma a conclusão.

Resposta

O limite não existe.

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