Mostre que os limites abaixo não existem usando a regra dos dois caminhos:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o limite
não existe, usando a regra dos dois caminhos.
Informações dadas: a função é e o ponto de interesse é
. Não há outras condições. A tarefa é provar que, ao aproximar
de
por dois caminhos diferentes, obtemos limites distintos.
Informações dadas: a função é
Passo 2
Primeiro vamos simplificar a expressão, fatorando termos óbvios — isso facilita muito a análise de caminhos.
O numerador é
O denominador é
Portanto a função pode ser reescrita como
É útil fazer a substituição
então o ponto
vira
e a função fica
Essa forma já é clássica para testar dependência do caminho: o valor de
frequentemente depende da relação entre
e
quando
.
Passo 3
Vou explicar rapidamente a ideia da “regra dos dois caminhos” (a parte teórica que você precisa entender): se o limite de
existisse em
, então quaisquer sequências
que se aproximem do ponto deveriam produzir o mesmo valor limite. Logo, para provar que o limite não existe basta encontrar dois caminhos (duas parametrizações que tendem ao mesmo ponto) que produzam limites diferentes. É um método direto e muito usado em provas de limites em duas variáveis.
Agora vamos aplicar isso com dois caminhos simples.
Passo 4
Caminho 1: aproximação sobre a reta
. Em termos de
isso é
. Substituindo em
temos, para
,
Portanto, ao aproximar
por pontos com
(isto é,
com
e
), o valor da função é sempre
e o limite é
Passo 5
Caminho 2: aproximação sobre a reta
. Em termos de
isso é
. Substituindo em
temos, para
,
Portanto, ao aproximar
por pontos com
(isto é,
com
e
), o valor da função é constantemente
e o limite é
Passo 6
Confrontando os dois caminhos: pelo Caminho 1 o limite é
e pelo Caminho 2 o limite é
. Como esses valores são diferentes, a regra dos dois caminhos diz que o limite total não existe. Expliquei acima por que essa diferença prova a inexistência: se o limite existisse, teria de ser o mesmo independentemente do caminho escolhido.
(opcional, para intuição extra) Podemos também usar coordenadas polares centradas em
:
,
. A função passa a ser
que depende de
. Como o valor depende da direção
, não há valor único quando
, o que confirma a conclusão.
Resposta
O limite não existe.