1,5 1. Determine se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique sua resposta.
(a) ( ) Uma sequéncia monótona é convergente;
(b) ( ) Se é uma sequéncia limitada, então é convergente;
(c) ( ) A sequencia e convergente;
(d) ( ) A sequéncia , e convergente.
Passo 1
O enunciado pede para avaliar a veracidade de quatro afirmações sobre convergência de sequências, usando conceitos de monotonicidade, limite, sequência limitada e teorema do confronto. Vamos aplicar: definição de sequência convergente, contraexemplo para monotonicidade sem boundedness, e confinamento pelo valor absoluto para mostrar convergência a zero.
Passo 2
(a) “Uma sequência monótona é convergente.”
Uma sequência monotônica pode divergir se não for limitada. Por exemplo, é monótona crescente, mas . Logo, nem toda sequência monótona converge.
Passo 3
(b) “Se é limitada, então é convergente.”
Como é limitada, existe tal que para todo . Então ,
e como limntoinftytfracMn^3=0, pelo teorema do confronto tfracann^3to0.
Passo 4
(c) “A sequência l(tfraccos^3(n)nraiznr) é convergente.”
Temos |cos^3(n)|<=1, logo l|tfraccos^3(n)nraiz nr|<= tfrac1n^3/2.
Como limntoinftyn^-3/2=0, novamente pelo confronto o termo vai a zero, logo a sequência converge.
Passo 5
(d) “A sequência an=cos(npi) é convergente.”
Sabemos que cos(npi)=(-1)^n, que oscila entre 1 e -1. Como não há um único valor para o limite, a sequência não converge.