1,5 1. Determine se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique sua resposta.
(a) ( ) Uma sequéncia monótona é convergente;
(b) ( ) Se (an)n in N é uma sequéncia limitada, então (ann^3)n in N é convergente;
(c) ( ) A sequencia (cos ^3(n)n raizn)n in N e convergente;
(d) ( ) A sequéncia (an)=(cos n pi), n in N, e convergente.

Passo 1

O enunciado pede para avaliar a veracidade de quatro afirmações sobre convergência de sequências, usando conceitos de monotonicidade, limite, sequência limitada e teorema do confronto. Vamos aplicar: definição de sequência convergente, contra­exemplo para monotonicidade sem boundedness, e confinamento pelo valor absoluto para mostrar convergência a zero.

Passo 2

(a) “Uma sequência monótona é convergente.”
Uma sequência monotônica pode divergir se não for limitada. Por exemplo, an=n é monótona crescente, mas limntoinftyn=+infty. Logo, nem toda sequência monótona converge.

Passo 3

(b) “Se l(anr) é limitada, então l(tfracann^3r) é convergente.”
Como l(anr) é limitada, existe M>0 tal que |an|<= M para todo n. Então
l|tfracann^3r|<= tfracMn^3,
e como limntoinftytfracMn^3=0, pelo teorema do confronto tfracann^3to0.

Passo 4

(c) “A sequência l(tfraccos^3(n)nraiznr) é convergente.”
Temos |cos^3(n)|<=1, logo
l|tfraccos^3(n)nraiz nr|<= tfrac1n^3/2.
Como limntoinftyn^-3/2=0, novamente pelo confronto o termo vai a zero, logo a sequência converge.

Passo 5

(d) “A sequência an=cos(npi) é convergente.”
Sabemos que cos(npi)=(-1)^n, que oscila entre 1 e -1. Como não há um único valor para o limite, a sequência não converge.

Resposta

(a) Falsa.
(b) Verdadeira.
(c) Verdadeira.
(d) Falsa.

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