1^a Questão: Calcule a integral integral 18 cotg 2 x cosec^2 x(2+cotg x)^2 d x

Passo 1

O enunciado pede a integral
integral 18,cot(2x),csc^2xl(2+cot xr)^2,dx
O conteúdo aqui é usar substituição trigonométrica. Vamos definir
t = cot x,
pois dfracddx(cot x) = -csc^2x, e também expressar cot(2x) em função de t.

Passo 2

Primeiro, escrevemos
cot(2x)=cot^2x-12,cot x =t^2-12t,
e notamos que
csc^2x,dx = -,dt
Assim a integral vira
integral 18,cot(2x),csc^2x(2+cot x)^2,dx =18integral t^2-12t,(-dt)(2+t)^2 =-9integral t^2-1t,(t+2)^2,dt

Passo 3

Fazemos a decomposição em frações parciais:
t^2-1t,(t+2)^2 =At+Bt+2+C(t+2)^2
Multiplicando por t(t+2)^2,
t^2-1 = A(t+2)^2 + B,t(t+2) + C,t
Expandindo e igualando coeficientes, obtemos
A=-tfrac14, B=tfrac54, C=-tfrac32
Logo
t^2-1t,(t+2)^2 =-14t + 54(t+2) - 3/2(t+2)^2

Passo 4

Integramos termo a termo:
-9integrall(-tfrac14t+tfrac54(t+2)-tfrac3/2(t+2)^2r),dt =-9l(-tfrac14ln|t|+tfrac54ln|t+2| -l(-tfrac32r)1t+2r)+C1
Simplificando os coeficientes:
94ln|t|-454ln|t+2|-272,1t+2+C1

Passo 5

Voltando à variável original t=cot x, obtemos
94lnl|cot xr| -454lnl|2+cot xr| -272,12+cot x + C

Resposta

boxed94lnl|cot xr| -454lnl|2+cot xr| -272,(2+cot x)+C

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