Determine quais das afirmações abaixo são verdadeiras e quais são falsas. (justifique):
( ) (A+B)(A-B)=A^{2}-B^{2}, para quaisquer A, B \in M_{n \times n}.
( ) Se uma matriz A tem um linha nula, então A B também tem uma linha nula, qualquer que seja a matriz B tal que A B está definida.
( ) Se uma matriz A tem um linha nula, então B A também tem uma linha nula, qualquer que seja a matriz B tal que B A está definida.
( ) Se uma matriz A tem um coluna nula, então B A também tem uma coluna nula, qualquer que seja a matriz B tal que B A está definida.
( ) Se uma matriz A tem um coluna nula, então A B também tem uma coluna nula, qualquer que seja a matriz B tal que A B está definida.
( ) Não existe matriz quadrada não nula A tal que A^{2}=0
( ) Se A, B \in M_{n \times n} e A B=0, então B A=0.
( ) (A+B)^{2}=A^{2}+2 A B+B^{2}, para quaisquer A, B \in M_{n \times n}.

Passo 1

O enunciado pergunta quais das oito afirmações sobre matrizes em M_{n\times n} são verdadeiras ou falsas. Vamos usar propriedades de produto de matrizes (em especial a não comutatividade), comportamento de linhas e colunas nulas sob multiplicação, existência de matrizes nilpotentes e a fórmula do quadrado de uma soma em álgebras não comutativas.

Passo 2

Avaliação de “ (A+B)(A-B)=A^{2}-B^{2} para quaisquer A,B\in M_{n\times n}”.
Como em geral AB\neq BA, temos
(A+B)(A-B)=A^2 - AB + BA - B^2,
que só coincide com A^2 - B^2 se AB=BA. Logo, em geral é falsa.

Passo 3

Avaliação de “Se A tem uma linha nula, então AB também tem uma linha nula, qualquer que seja B”.
Se a i-ésima linha de A é zero, então a i-ésima linha de AB é essa linha zerada multiplicada por B, ou seja, zero. Portanto, essa afirmação é verdadeira.

Passo 4

Avaliação de “Se A tem uma linha nula, então BA também tem uma linha nula, qualquer que seja B”.
A j-ésima linha de BA é combinação linear das linhas de A com coeficientes dados pela j-ésima linha de B. Se escolhermos A com a linha 1 nula e
A=\begin{pmatrix}0&0\\\ 1&2\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}1&1\\\ 1&1\end{pmatrix},
então
BA=\begin{pmatrix}1&2\\\ 1&2\end{pmatrix}
não tem linha nula. Logo, a afirmação é falsa.

Passo 5

Avaliação de “Se A tem uma coluna nula, então BA também tem uma coluna nula, qualquer que seja B”.
Se a j-ésima coluna de A é zero, então a j-ésima coluna de BA vale B vezes vetor zero, dando vetor zero. Logo, essa afirmação é verdadeira.

Passo 6

Avaliação de “Se A tem uma coluna nula, então AB também tem uma coluna nula, qualquer que seja B”.
A j-ésima coluna de AB é combinação linear das colunas de A com coeficientes dados pela j-ésima coluna de B. Como só sabemos que uma coluna de A é zero, as outras colunas podem gerar colunas não nulas em AB. Por exemplo, com
A=\begin{pmatrix}0&1\\\ 0&2\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}0&0\\\ 1&1\end{pmatrix},
obtemos
AB=\begin{pmatrix}1&1\\\ 2&2\end{pmatrix},
sem colunas nulas. Logo, a afirmação é falsa.

Passo 7

Avaliação de “Não existe matriz quadrada não nula A tal que A^2=0”.
Isso nega a existência de matrizes nilpotentes de índice 2. Mas o bloco de Jordan \begin{pmatrix}0&1\\\ 0&0\end{pmatrix} é não nulo e satisfaz
\begin{pmatrix}0&1\\\ 0&0\end{pmatrix}^2=0.
Portanto, a afirmação é falsa.

Passo 8

Avaliação de “Se A,B\in M_{n\times n} e AB=0, então BA=0”.
Em geral não vale, pois a multiplicação não é comutativa. Um contraexemplo em M_3 é usar as matrizes de base E_{ij}: seja
A=E_{23},\quad B=E_{12}.
Então
AB=E_{23}E_{12}=0,\quad BA=E_{12}E_{23}=E_{13}\neq 0.
Logo, a afirmação é falsa.

Passo 9

Avaliação de “ (A+B)^2=A^2+2AB+B^2 para quaisquer A,B”.
Em álgebras não comutativas tem-se
(A+B)^2=A^2+AB+BA+B^2,
e só dá 2AB se AB=BA. Em geral é falsa.

Resposta

(F) (A+B)(A-B)=A^{2}-B^{2}
(V) Se uma matriz A tem uma linha nula, então AB também tem uma linha nula.
(F) Se uma matriz A tem uma linha nula, então BA também tem uma linha nula.
(V) Se uma matriz A tem uma coluna nula, então BA também tem uma coluna nula.
(F) Se uma matriz A tem uma coluna nula, então AB também tem uma coluna nula.
(F) Não existe matriz quadrada não nula A tal que A^{2}=0.
(F) Se A,B\in M_{n\times n} e AB=0, então BA=0.
(F) (A+B)^{2}=A^{2}+2AB+B^{2}.

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