Determine quais das afirmações abaixo são verdadeiras e quais são falsas. (justifique):
( )
, para quaisquer
.
( ) Se uma matriz
tem um linha nula, então
também tem uma linha nula, qualquer que seja a matriz
tal que
está definida.
( ) Se uma matriz
tem um linha nula, então
também tem uma linha nula, qualquer que seja a matriz
tal que
está definida.
( ) Se uma matriz
tem um coluna nula, então
também tem uma coluna nula, qualquer que seja a matriz
tal que
está definida.
( ) Se uma matriz
tem um coluna nula, então
também tem uma coluna nula, qualquer que seja a matriz
tal que
está definida.
( ) Não existe matriz quadrada não nula
tal que
( ) Se
e
, então
.
( )
, para quaisquer
.
( )
( ) Se uma matriz
( ) Se uma matriz
( ) Se uma matriz
( ) Se uma matriz
( ) Não existe matriz quadrada não nula
( ) Se
( )
Passo 1
O enunciado pergunta quais das oito afirmações sobre matrizes em
são verdadeiras ou falsas. Vamos usar propriedades de produto de matrizes (em especial a não comutatividade), comportamento de linhas e colunas nulas sob multiplicação, existência de matrizes nilpotentes e a fórmula do quadrado de uma soma em álgebras não comutativas.
Passo 2
Avaliação de “
para quaisquer
”.
Como em geral , temos
Como em geral
que só coincide com
se
. Logo, em geral é falsa.
Passo 3
Avaliação de “Se
tem uma linha nula, então
também tem uma linha nula, qualquer que seja
”.
Se a -ésima linha de
é zero, então a
-ésima linha de
é essa linha zerada multiplicada por
, ou seja, zero. Portanto, essa afirmação é verdadeira.
Se a
Passo 4
Avaliação de “Se
tem uma linha nula, então
também tem uma linha nula, qualquer que seja
”.
A -ésima linha de
é combinação linear das linhas de
com coeficientes dados pela
-ésima linha de
. Se escolhermos
com a linha 1 nula e
A
então
não tem linha nula. Logo, a afirmação é falsa.
Passo 5
Avaliação de “Se
tem uma coluna nula, então
também tem uma coluna nula, qualquer que seja
”.
Se a -ésima coluna de
é zero, então a
-ésima coluna de
vale
vezes vetor zero, dando vetor zero. Logo, essa afirmação é verdadeira.
Se a
Passo 6
Avaliação de “Se
tem uma coluna nula, então
também tem uma coluna nula, qualquer que seja
”.
A -ésima coluna de
é combinação linear das colunas de
com coeficientes dados pela
-ésima coluna de
. Como só sabemos que uma coluna de
é zero, as outras colunas podem gerar colunas não nulas em
. Por exemplo, com
A
obtemos
sem colunas nulas. Logo, a afirmação é falsa.
Passo 7
Avaliação de “Não existe matriz quadrada não nula
tal que
”.
Isso nega a existência de matrizes nilpotentes de índice 2. Mas o bloco de Jordan é não nulo e satisfaz
Isso nega a existência de matrizes nilpotentes de índice 2. Mas o bloco de Jordan
Portanto, a afirmação é falsa.
Passo 8
Avaliação de “Se
e
, então
”.
Em geral não vale, pois a multiplicação não é comutativa. Um contraexemplo em é usar as matrizes de base
: seja
Em geral não vale, pois a multiplicação não é comutativa. Um contraexemplo em
Então
Logo, a afirmação é falsa.
Passo 9
Avaliação de “
para quaisquer
”.
Em álgebras não comutativas tem-se
Em álgebras não comutativas tem-se
e só dá
se
. Em geral é falsa.
Resposta
(F)
(V) Se uma matriz tem uma linha nula, então
também tem uma linha nula.
(F) Se uma matriz tem uma linha nula, então
também tem uma linha nula.
(V) Se uma matriz tem uma coluna nula, então
também tem uma coluna nula.
(F) Se uma matriz tem uma coluna nula, então
também tem uma coluna nula.
(F) Não existe matriz quadrada não nula tal que
.
(F) Se e
, então
.
(F) .
(V) Se uma matriz
(F) Se uma matriz
(V) Se uma matriz
(F) Se uma matriz
(F) Não existe matriz quadrada não nula
(F) Se
(F)