Um agrimensor mapeia um lote de terra que tem a forma de um paralelogramo. Ele marca três vértices consecutivos do lote nos seguintes pontos A=(1,1,1), B= (3,2,1) e C=(2,4,1). Calcule a área do lote de terra.

Passo 1

O enunciado dá três vértices consecutivos de um paralelogramo em \mathbb{R}^3: A=(1,1,1), B=(3,2,1) e C=(2,4,1).
Queremos calcular a área desse paralelogramo usando vetores e produto vetorial.

Passo 2

Como A,B,C são consecutivos, os dois lados adjacentes saem de B: \vec{AB}=B-A e \vec{BC}=C-B.

Passo 3

Calculamos os vetores:
\vec{AB} = (3-1,\,2-1,\,1-1) = (2,1,0),
\vec{BC} = (2-3,\,4-2,\,1-1) = (-1,2,0).

Passo 4

A área do paralelogramo é o módulo do produto vetorial \vec{AB}\times\vec{BC}$: \[\vec{AB}\times\vec{BC} =\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\\ 2 & 1 & 0\\\\ -1 & 2 & 0 \end{vmatrix} =(0,0,5).\]

Passo 5

O módulo desse vetor é
\|\,(0,0,5)\| =\sqrt{0^2+0^2+5^2} =5.

Resposta

5

Exercícios relacionados