Determine quais das afirmações abaixo são verdadeiras e quais são falsas. (justifique):
( )
, para quaisquer
.
( ) Se uma matriz
tem um linha nula, então
também tem uma linha nula, qualquer que seja a matriz
tal que
está definida.
( ) Se uma matriz
tem um linha nula, então
também tem uma linha nula, qualquer que seja a matriz
tal que
está definida.
( ) Se uma matriz
tem um coluna nula, então
também tem uma coluna nula, qualquer que seja a matriz
tal que
está definida.
( ) Se uma matriz
tem um coluna nula, então
também tem uma coluna nula, qualquer que seja a matriz
tal que
está definida.
( ) Não existe matriz quadrada não nula
tal que
( ) Se
e
, então
.
( )
, para quaisquer
.
( )
( ) Se uma matriz
( ) Se uma matriz
( ) Se uma matriz
( ) Se uma matriz
( ) Não existe matriz quadrada não nula
( ) Se
( )
Passo 1
O enunciado apresenta oito afirmações sobre matrizes quadradas em
. Vamos usar propriedades de multiplicação de matrizes (não comutatividade em geral), estrutura de linhas e colunas nulas, existência de matrizes nilpotentes e contraexemplos para produto nulo para decidir quais são verdadeiras ou falsas.
Passo 2
Afirmações 1 e 8 usam binômios de matrizes sem exigir comutatividade.
Para 1, expanda
Para 1, expanda
que coincide com
somente se
. Em geral
, logo 1 é falsa.
Para 8, expanda
Para 8, expanda
que só seria
se
. Logo 8 também é falsa.
Passo 3
Afirmações 2 e 3 tratam de linha nula.
Se tem a linha
toda zero, então a linha
de
é
Se
portanto 2 é verdadeira.
Já em , linhas vêm de combinações das linhas de
com colunas de
, de modo que uma linha nula de
não força nenhuma linha de
a ser nula. Logo 3 é falsa.
Já em
Passo 4
Afirmações 4 e 5 tratam de coluna nula.
Se tem a coluna
toda zero, então a coluna
de
é
Se
portanto 4 é verdadeira.
Em , colunas são
vezes colunas de
, e uma coluna nula de
só elimina uma parte da soma; as outras colunas de
podem gerar colunas não nulas em
. Logo 5 é falsa.
Em
Passo 5
Afirmação 6 nega a existência de matriz nilpotente não nula de ordem 2. Porém, por exemplo
é não nula e satisfaz
. Logo 6 é falsa.
Afirmação 7 diz que implica
. Mas, por exemplo, com
Afirmação 7 diz que
temos
e
Portanto 7 é falsa.
Resposta
- Falsa
- Verdadeira
- Falsa
- Verdadeira
- Falsa
- Falsa
- Falsa
- Falsa