Determine quais das afirmações abaixo são verdadeiras e quais são falsas. (justifique):
( ) (A+B)(A-B)=A^{2}-B^{2}, para quaisquer A, B \in M_{n \times n}.
( ) Se uma matriz A tem um linha nula, então A B também tem uma linha nula, qualquer que seja a matriz B tal que A B está definida.
( ) Se uma matriz A tem um linha nula, então B A também tem uma linha nula, qualquer que seja a matriz B tal que B A está definida.
( ) Se uma matriz A tem um coluna nula, então B A também tem uma coluna nula, qualquer que seja a matriz B tal que B A está definida.
( ) Se uma matriz A tem um coluna nula, então A B também tem uma coluna nula, qualquer que seja a matriz B tal que A B está definida.
( ) Não existe matriz quadrada não nula A tal que A^{2}=0
( ) Se A, B \in M_{n \times n} e A B=0, então B A=0.
( ) (A+B)^{2}=A^{2}+2 A B+B^{2}, para quaisquer A, B \in M_{n \times n}.

Passo 1

O enunciado apresenta oito afirmações sobre matrizes quadradas em M_{n\times n}. Vamos usar propriedades de multiplicação de matrizes (não comutatividade em geral), estrutura de linhas e colunas nulas, existência de matrizes nilpotentes e contraexemplos para produto nulo para decidir quais são verdadeiras ou falsas.

Passo 2

Afirmações 1 e 8 usam binômios de matrizes sem exigir comutatividade.
Para 1, expanda
(A+B)(A-B)=A^2 - A B + B A - B^2,
que coincide com A^2 - B^2 somente se AB=BA. Em geral AB\neq BA, logo 1 é falsa.
Para 8, expanda
(A+B)^2 = A^2 + AB + BA + B^2,
que só seria A^2+2AB+B^2 se AB=BA. Logo 8 também é falsa.

Passo 3

Afirmações 2 e 3 tratam de linha nula.
Se A tem a linha i toda zero, então a linha i de AB é
(AB)_{i*} = A_{i*}\,B = 0\cdot B = 0,
portanto 2 é verdadeira.
Já em BA, linhas vêm de combinações das linhas de B com colunas de A, de modo que uma linha nula de A não força nenhuma linha de BA a ser nula. Logo 3 é falsa.

Passo 4

Afirmações 4 e 5 tratam de coluna nula.
Se A tem a coluna j toda zero, então a coluna j de BA é
(BA)_{*j} = B\,(A_{*j}) = B\cdot 0 = 0,
portanto 4 é verdadeira.
Em AB, colunas são A vezes colunas de B, e uma coluna nula de A só elimina uma parte da soma; as outras colunas de A podem gerar colunas não nulas em AB. Logo 5 é falsa.

Passo 5

Afirmação 6 nega a existência de matriz nilpotente não nula de ordem 2. Porém, por exemplo
A = \begin{pmatrix}0 & 1\\\ 0 & 0\end{pmatrix}
é não nula e satisfaz A^2=0. Logo 6 é falsa.
Afirmação 7 diz que AB=0 implica BA=0. Mas, por exemplo, com
A=\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&0\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}0&1\\\ 0&0\end{pmatrix},
temos AB=0 e
BA = \begin{pmatrix}0&1\\\ 0&0\end{pmatrix}\neq 0.
Portanto 7 é falsa.

Resposta

  1. Falsa
  2. Verdadeira
  3. Falsa
  4. Verdadeira
  5. Falsa
  6. Falsa
  7. Falsa
  8. Falsa

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