Seja
uma função da variável
dada implicitamente pela equação
Expresse
em termos de
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver um exercício de cálculo envolvendo derivadas implícitas. A gente tem a equação $ x \ln(y) + y \cos(x) = 1 $ que relaciona $ y $ e $ x $. Nosso objetivo é encontrar a derivada de $ y $ em relação a $ x $, ou seja, $ y’ $, expressa em termos de $ x $ e $ y $. Para isso, vamos precisar usar a derivação implícita, que é útil quando $ y $ não está isolada.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a $ x $. Lembrando que $ y $ é uma função de $ x $, então usamos a regra da cadeia quando derivamos termos que envolvem $ y $.
Passo 3
Vamos derivar o primeiro termo $ x \ln(y) $. Aplicamos a regra do produto:
Sabemos que $ \frac{d}{dx}(x) = 1 $ e $ \frac{d}{dx}[\ln(y)] = \frac{y’}{y} $ pela regra da cadeia.
Passo 4
Derivando o segundo termo $ y \cos(x) $ também usamos a regra do produto:
Aqui, $ \frac{d}{dx}[\cos(x)] = -\sin(x) $ e $ \frac{d}{dx}(y) = y’ $.
Passo 5
Derivando o lado direito, $ \frac{d}{dx}(1) = 0 $, porque a derivada de uma constante é zero.
Passo 6
Agora, juntando todas as derivadas:
Simplificando:
Passo 7
Queremos isolar $ y’ $. Vamos reunir os termos que contêm $ y’ $ de um lado e os demais termos do outro lado:
Passo 8
Fatorando $ y’ $ do lado esquerdo:
Passo 9
Finalmente, isolamos $ y’ $ dividindo ambos os lados pela expressão que está multiplicando $ y’ $:
Resposta
A derivada de $ y $ em relação a $ x $ é