Seja y uma função da variável x dada implicitamente pela equação
x ln (y)+y cos (x)=1
Expresse y^prime em termos de x e y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de cálculo envolvendo derivadas implícitas. A gente tem a equação $ x \ln(y) + y \cos(x) = 1 $ que relaciona $ y $ e $ x $. Nosso objetivo é encontrar a derivada de $ y $ em relação a $ x $, ou seja, $ y’ $, expressa em termos de $ x $ e $ y $. Para isso, vamos precisar usar a derivação implícita, que é útil quando $ y $ não está isolada.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a $ x $. Lembrando que $ y $ é uma função de $ x $, então usamos a regra da cadeia quando derivamos termos que envolvem $ y $.

Passo 3

Vamos derivar o primeiro termo $ x \ln(y) $. Aplicamos a regra do produto:
x ln(y)
Sabemos que $ \frac{d}{dx}(x) = 1 $ e $ \frac{d}{dx}[\ln(y)] = \frac{y’}{y} $ pela regra da cadeia.

Passo 4

Derivando o segundo termo $ y \cos(x) $ também usamos a regra do produto:
y cos(x)
Aqui, $ \frac{d}{dx}[\cos(x)] = -\sin(x) $ e $ \frac{d}{dx}(y) = y’ $.

Passo 5

Derivando o lado direito, $ \frac{d}{dx}(1) = 0 $, porque a derivada de uma constante é zero.

Passo 6

Agora, juntando todas as derivadas:
ln(y) cdot 1 + x cdot y'y + y cdot (-sin(x)) + cos(x) cdot y' = 0
Simplificando:
ln(y) + x y'y - y sin(x) + cos(x) y' = 0

Passo 7

Queremos isolar $ y’ $. Vamos reunir os termos que contêm $ y’ $ de um lado e os demais termos do outro lado:
y'

Passo 8

Fatorando $ y’ $ do lado esquerdo:
y'

Passo 9

Finalmente, isolamos $ y’ $ dividindo ambos os lados pela expressão que está multiplicando $ y’ $:
y'

Resposta

A derivada de $ y $ em relação a $ x $ é
y

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