Seja f(x)=raize^4 x+8.
Calcule f^prime(x).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função $ f(x) = \sqrt{e^{4x} + 8} $ e queremos encontrar a sua derivada, ou seja, $ f’(x) $. Isso está na área de Cálculo Diferencial, mais especificamente usando a Regra da Cadeia para derivar funções compostas. Vamos precisar entender como derivar funções dentro de outras funções.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever $ f(x) $ de uma forma que facilite a aplicação da regra da cadeia. Sabemos que a raiz quadrada pode ser escrita como uma potência de $ \frac{1}{2} $. Então,
f(x)

Passo 3

Agora, vamos identificar as funções internas e externas para aplicar a regra da cadeia. Aqui, temos uma função externa $ g(u) = u^{\frac{1}{2}} $ onde $ u = e^{4x} + 8 $.

Passo 4

Vamos derivar a função externa $ g(u) $ em relação a $ u $:
g(u)

Passo 5

Em seguida, derivamos a função interna $ u = e^{4x} + 8 $ em relação a $ x $:
u = e^4x + 8

Passo 6

Aplicando a regra da cadeia, a derivada de $ f(x) $ é o produto da derivada da função externa pela derivada da função interna:
f(x)

Passo 7

Podemos simplificar essa expressão multiplicando os coeficientes:
f'(x) = 2e^4x cdot (e^4x + 8)^-12

Passo 8

Se preferir, podemos escrever a expressão com a raiz novamente:
f'(x) = 2e^4xraize^4x + 8

Resposta

A derivada de $ f(x) $ é:
f(x)

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