Determine quais afirmações são verdadeiras: A soma de dois polinômios de grau 5 é sempre um polinômio de grau 5.

Passo 1

O enunciado afirma que a soma de dois polinômios de grau 5 é sempre um polinômio de grau 5. Estamos em Álgebra de polinômios e vamos usar a definição de grau e como a soma afeta o coeficiente líder.

Passo 2

Um polinômio de grau 5 tem a forma geral
p(x)=a5x^5+a4x^4+cdots+a0
com a5neq0. De modo análogo, outro polinômio de grau 5 é
q(x)=b5x^5+b4x^4+cdots+b0
com b5neq0.

Passo 3

Ao somarmos esses polinômios, o coeficiente diante de x^5 fica
(a5+b5)
Portanto o grau da soma é 5 se, e somente se, a5+b5neq0. Se a5+b5=0, o termo x^5 some e o grau cai para algo menor que 5.

Passo 4

Como pode ocorrer a5+b5=0, há casos (por exemplo p(x)=x^5+1 e q(x)=-x^5+2) em que a soma tem grau menor que 5. Logo, não se garante sempre grau 5 na soma.

Resposta

A afirmação é falsa.

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