Determine os possíveis valores de a e b que tornam contínuas as funções abaixo.
(1.1) f(x)=ll a x^2+2 x, & se x<2 x^3-a x, & se x >= 2 (1.2) f(x)= x^2-4x-2, & se x<2 a x^2-b x+3, & se 2 <= x<3 2 x-a+b, & se x >= 3

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os valores de a (e b, no caso da segunda função) que garantem a continuidade de duas funções definidas por partes nos pontos em que mudam a regra (x=2 e x=3). Vamos usar a definição de continuidade num ponto: o limite pela esquerda e o limite pela direita devem existir e ser iguais ao valor da função naquele ponto.

Passo 2

Para a função (1.1) f(x)=a x^2+2 x,&x<2x^3-a x,&x>=2, o ponto crítico é x=2. Calculamos:
limxto2^-f(x)=acdot2^2+2cdot2=4a+4,
limxto2^+f(x)=2^3-acdot2=8-2a

Passo 3

Igualando para continuidade:
4a+4=8-2a

Passo 4

Resolvendo:
6a=4Rightarrow a=23

Passo 5

Para a função (1.2) f(x)=x^2-4x-2,&x<2a x^2-b x+3,&2<= x<32x-a+b,&x>=3, há descontinuidades potenciais em x=2 e x=3.
No ponto x=2: simplificamos x^2-4x-2=x+2 para xne2, logo
limxto2^-f(x)=2+2=4

Passo 6

Para x=2^+ usamos a parte do meio:
f(2)=acdot2^2 - bcdot2 +3 =4a-2b+3

Passo 7

Para continuidade em x=2:
4a-2b+3=4Rightarrow4a-2b=1

Passo 8

No ponto x=3:
limxto3^-f(x)=acdot3^2 - bcdot3 +3 =9a-3b+3,
limxto3^+f(x)=2cdot3 - a + b =6 - a + b

Passo 9

Igualando para continuidade em x=3:
9a-3b+3 =6 - a + bRightarrow10a-4b=3

Passo 10

Agora resolvemos o sistema:
[ 4a-2b=110a-4b=3\
Multiplicando a primeira equação por 2:
8a-4b=2

Passo 11

Subtraindo dessa a segunda:
(10a-4b) - (8a-4b) =3-2 Rightarrow2a=1 Rightarrow a=tfrac12

Passo 12

Substituindo em 4a-2b=1:
4cdottfrac12 -2b=1Rightarrow2-2b=1Rightarrow b=tfrac12

Resposta

(1.1) a = \tfrac{2}{3}. (1.2) a = \tfrac{1}{2} e b = \tfrac{1}{2}.

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