Determine os possíveis valores de e que tornam contínuas as funções abaixo.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os valores de a (e b, no caso da segunda função) que garantem a continuidade de duas funções definidas por partes nos pontos em que mudam a regra (x=2 e x=3). Vamos usar a definição de continuidade num ponto: o limite pela esquerda e o limite pela direita devem existir e ser iguais ao valor da função naquele ponto.
Passo 2
Para a função (1.1) f(x)=a x^2+2 x,&x<2x^3-a x,&x>=2, o ponto crítico é x=2. Calculamos:
limxto2^-f(x)=acdot2^2+2cdot2=4a+4,
limxto2^+f(x)=2^3-acdot2=8-2a
Passo 3
Igualando para continuidade:
4a+4=8-2a
Passo 4
Resolvendo:
6a=4Rightarrow a=23
Passo 5
Para a função (1.2) f(x)=x^2-4x-2,&x<2a x^2-b x+3,&2<= x<32x-a+b,&x>=3, há descontinuidades potenciais em x=2 e x=3.
No ponto x=2: simplificamos x^2-4x-2=x+2 para xne2, logo
limxto2^-f(x)=2+2=4
Passo 6
Para x=2^+ usamos a parte do meio:
f(2)=acdot2^2 - bcdot2 +3 =4a-2b+3
Passo 7
Para continuidade em x=2:
4a-2b+3=4Rightarrow4a-2b=1
Passo 8
No ponto x=3:
limxto3^-f(x)=acdot3^2 - bcdot3 +3 =9a-3b+3,
limxto3^+f(x)=2cdot3 - a + b =6 - a + b
Passo 9
Igualando para continuidade em x=3:
9a-3b+3 =6 - a + bRightarrow10a-4b=3
Passo 10
Agora resolvemos o sistema:
[4a-2b=110a-4b=3\
Multiplicando a primeira equação por 2: