Determine a, b e c, de modo que (a+b-1) x^2+(b-2 c) x+(2 c-1)=0.
7) Determine a e b de modo que ax-1+bx+1=5 x+1x^2-1.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: primeiro, achar os valores de a, b e c para que o polinômio (a+b-1)x^2 + (b-2c)x + (2c-1) seja identicamente zero, e segundo, determinar a e b para que ax-1 + bx+1 = 5x+1x^2-1. Os conteúdos envolvem identidade de polinômios (equação nula) e decomposição em frações parciais, usando denomínio comum.

Passo 2

Para que o polinômio (a+b-1)x^2 + (b-2c)x + (2c-1) seja identicamente zero em todo x, cada coeficiente deve ser zero. Montamos o sistema:
a + b - 1 = 0, b - 2c = 0, 2c - 1 = 0

Passo 3

Resolvendo o sistema: da terceira equação temos 2c - 1 = 0 logo c = 12. Substituindo em b - 2c = 0 vem b = 2c = 1. Finalmente, em a + b - 1 = 0 temos a + 1 - 1 = 0 logo a = 0.

Passo 4

Agora para ax-1 + bx+1 = 5x+1x^2-1, observamos que x^2 - 1 = (x-1)(x+1). Somando as frações do lado esquerdo com esse denominador comum, o numerador fica:
a(x+1) + b(x-1) = (a+b)x + (a-b)

Passo 5

Para que a igualdade de frações seja verdadeira em todo x, igualamos numeradores:
(a+b)x + (a-b) = 5x + 1
Isto gera o sistema:
a + b = 5, a - b = 1

Passo 6

Resolvendo: somando as equações dá 2a = 6 logo a = 3. Substituindo em a + b = 5 obtemos b = 2.

Resposta

Primeiro problema: a = 0, b = 1, c = tfrac12. Segundo problema: a = 3, b = 2.

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