Determine , e , de modo que .
7) Determine e de modo que .
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: primeiro, achar os valores de , e para que o polinômio seja identicamente zero, e segundo, determinar e para que . Os conteúdos envolvem identidade de polinômios (equação nula) e decomposição em frações parciais, usando denomínio comum.
Passo 2
Para que o polinômio seja identicamente zero em todo , cada coeficiente deve ser zero. Montamos o sistema:
Passo 3
Resolvendo o sistema: da terceira equação temos 2c - 1 = 0 logo c = 12. Substituindo em b - 2c = 0 vem b = 2c = 1. Finalmente, em a + b - 1 = 0 temos a + 1 - 1 = 0 logo a = 0.
Passo 4
Agora para ax-1 + bx+1 = 5x+1x^2-1, observamos que x^2 - 1 = (x-1)(x+1). Somando as frações do lado esquerdo com esse denominador comum, o numerador fica:
a(x+1) + b(x-1) = (a+b)x + (a-b)
Passo 5
Para que a igualdade de frações seja verdadeira em todo x, igualamos numeradores:
(a+b)x + (a-b) = 5x + 1
Isto gera o sistema:
a + b = 5, a - b = 1
Passo 6
Resolvendo: somando as equações dá 2a = 6 logo a = 3. Substituindo em a + b = 5 obtemos b = 2.
Resposta
Primeiro problema: a = 0, b = 1, c = tfrac12. Segundo problema: a = 3, b = 2.