Determine, algebricamente, o domínio das funções a seguir.
f(x)=\frac{1+x}{\sqrt[3]{27-x^{2}}}

Passo 1

O enunciado pede o domínio da função
f(x)=\frac{1+x}{\sqrt[3]{27 - x^{2}}}\,.
Conteúdo: domínio de função com radiciação de índice ímpar e denominador. Para resolver, precisamos lembrar que radiciação de índice ímpar aceita qualquer real no radicando, mas nunca podemos ter denominador zero.

Passo 2

Analisando a parte de radiciação: como é raiz cúbica \sqrt[3]{\;\cdot\;}, o radicando 27 - x^{2} pode ser qualquer número real sem restrição adicional.

Passo 3

Contudo, como esse radical está no denominador, devemos exigir \sqrt[3]{27 - x^{2}}\neq 0 o que equivale a
27 - x^{2}\neq 0\,.

Passo 4

Resolvendo 27 - x^{2}\neq 0, temos
x^{2}\neq 27 \quad\Longrightarrow\quad x\neq \pm \sqrt{27} \quad\Longrightarrow\quad x\neq \pm 3\sqrt{3}\,.

Resposta

O domínio de f é
\mathbb{R}\setminus\{\,-3\sqrt{3},\,3\sqrt{3}\}
ou, em notação de intervalos,
(-\infty,-3\sqrt{3})\cup(-3\sqrt{3},3\sqrt{3})\cup(3\sqrt{3},\infty)\,.

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