Determine, algebricamente, o domínio das funções a seguir.
f(x)=\frac{\sqrt{8}}{\left(x^{2}+1\right)(x+1)}

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x) = \frac{\sqrt{8}}{\bigl(x^{2}+1\bigr)\,(x+1)}
e pede o domínio, isto é, todos os x\in\mathbb{R} para os quais a expressão faz sentido. O conteúdo envolvido é domínio de função real com raiz e fração; para resolver, vamos verificar (1) o radicando da raiz quadrada e (2) o denominador da fração.

Passo 2

Verificamos a raiz: temos \sqrt{8}. O radicando é 8, que não depende de x e satisfaz 8\ge0. Logo, não há restrição de domínio vinda da raiz.

Passo 3

Agora, o denominador é \bigl(x^{2}+1\bigr)\,(x+1). Para a fração estar definida, precisamos
\bigl(x^{2}+1\bigr)\,(x+1)\neq0.
Isso ocorre se e somente se cada fator for diferente de zero:
  1. x^{2}+1\neq0. Como x^{2}\ge0 para todo x\in\mathbb{R}, x^{2}+1\ge1>0. Nunca zera.
  2. x+1\neq0. Isto impõe x\neq-1.

Passo 4

Concluímos que a única exclusão do conjunto dos reais é x=-1. Portanto, o domínio de f é
\{\,x\in\mathbb{R}\mid x\neq-1\}=\mathbb{R}\setminus\{-1\}.

Resposta

\displaystyle \mathbb{R}\setminus\{-1\}

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