Dados os conjuntos de vetores, determine se estes, formam uma base para o subespaço S. Justifique.
\beta_{2}=\{[0,3,2,-1],[5,-1,2,0],[1,-2,3,1]\} onde S=\{(x, y, z, t), \operatorname{com} x, y, z, t \in R\}

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dá o conjunto \beta_{2}=\{\,[0,3,2,-1],\,[5,-1,2,0],\,[1,-2,3,1]\,\}. Vou chamar os vetores de
    \,v_{1}=[0,3,2,-1],\;v_{2}=[5,-1,2,0],\;v_{3}=[1,-2,3,1]\,.
  • Dá o subespaço S=\{(x,y,z,t),\\ \text{com }x,y,z,t\in\mathbb{R}\}.
  • Pede para determinar se os vetores de \beta_{2} formam uma base para S e justificar.

Passo 2

Lembrando a definição (explicação didática):
  • Um conjunto de vetores é base de um espaço vetorial quando satisfaz duas coisas ao mesmo tempo:
    1. os vetores são linearmente independentes;
    2. eles geram (fazem o span de) todo o espaço.
  • Outra ideia importante: a dimensão de S é o número de vetores de qualquer base de S.
    Aqui S é exatamente o espaço \mathbb{R}^{4} (pois são tuplas (x,y,z,t) com 4 coordenadas), então
    a dimensão de S é \dim(S)=4.
  • Consequência prática: para ser base de S é preciso ter exatamente 4 vetores (se forem linearmente independentes). Um conjunto com menos de 4 vetores não pode gerar todo \mathbb{R}^{4}.

Passo 3

Aplicando a observação de contagem:
  • O conjunto \beta_{2} tem apenas 3 vetores: \,v_{1},v_{2},v_{3}.
  • Como \dim(S)=4, qualquer base de S deve conter 4 vetores.
  • Portanto, já por contagem, \beta_{2} não pode gerar todo S=\mathbb{R}^{4}. Logo \beta_{2} não é uma base de S.

Passo 4

(Aqui verifico também a independência linear — isso não muda a conclusão, mas é útil saber.)
  • Vou testar se os vetores são linearmente independentes: considero a combinação \alpha v_{1}+\beta v_{2}+\gamma v_{3}=\mathbf{0}.Escrevendo componente a componente obtemos o sistema \begin{cases} 5\beta+\gamma=0,\\[4pt] 3\alpha-\beta-2\gamma=0,\\[4pt] 2\alpha+2\beta+3\gamma=0,\\[4pt] -\alpha+0\beta+\gamma=0. \end{cases}
  • Da primeira equação vem \gamma=-5\beta.
  • Substituindo na segunda equação: 3\alpha-\beta-2(-5\beta)=3\alpha-\beta+10\beta=3\alpha+9\beta=0,portanto \alpha=-3\beta.
  • Substituindo \alpha=-3\beta e \gamma=-5\beta na terceira equação: 2(-3\beta)+2\beta+3(-5\beta)=-6\beta+2\beta-15\beta=-19\beta=0,então \beta=0.
  • Com \beta=0 segue \alpha=0 e \gamma=0. Logo a única solução é a solução trivial, então v_{1},v_{2},v_{3} são linearmente independentes.
  • Conclusão parcial: os três vetores são linearmente independentes e, portanto, formam uma base de um subespaço de dimensão 3 (o span deles), mas não de todo \mathbb{R}^{4}.]

Passo 5

Interpretação final e justificativa curta:
  • Para ser base de S=\mathbb{R}^{4} seriam necessários 4 vetores linearmente independentes. \beta_{2} tem apenas 3 vetores.
  • Apesar de serem linearmente independentes, eles não geram todo S. Portanto \beta_{2} não é uma base de S.

Resposta

Não. Os vetores de \beta_{2} são linearmente independentes, mas \dim(S)=4 e \beta_{2} tem apenas 3 vetores, logo não podem formar uma base de S=\mathbb{R}^{4}.

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