Nos exercícios 22) a 23), encontre a equação geral do plano que contém as seguintes retas:
r: \frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{3}=-z+3 \quad \text { e } \quad s: \frac{-x+1}{2}=-y-2=\frac{z-3}{2} .

Passo 1

O enunciado pede a equação geral do plano que contém as retas
r: \frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{3}=-z+3 \quad\text{e}\quad s: \frac{-x+1}{2}=-y-2=\frac{z-3}{2}.
O conteúdo é Geometria Analítica (planos e retas) e vamos precisar parametrizar cada reta para extrair um ponto delas e seus vetores diretores, depois usar produto vetorial para achar o vetor normal do plano.

Passo 2

Parametrizamos a reta r. Seja t=\frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{3}=-z+3. Então
x=1+2t,\quad y=-2+3t,\quad z=3-t.
Dessa forma, um ponto em r é P=(1,-2,3) e o vetor diretor é
\vec v_1=(2,3,-1).

Passo 3

Parametrizamos a reta s. Seja u=\frac{-x+1}{2}=-y-2=\frac{z-3}{2}. Então
x=1-2u,\quad y=-2-u,\quad z=3+2u.
Um ponto em s é Q=(1,-2,3) (o mesmo de r) e o vetor diretor é
\vec v_2=(-2,-1,2).

Passo 4

Como P=Q=(1,-2,3), as retas se interceptam nesse ponto e há um plano único que as contém. Para achar esse plano, precisamos do seu vetor normal.

Passo 5

Calculamos o vetor normal \vec n como produto vetorial de \vec v_1 e \vec v_2:
\vec n=\vec v_1\times\vec v_2 =\begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k\\\\ 2 & 3 & -1\\\\ -2 & -1 & 2 \end{vmatrix} =(3\cdot2-(-1)\cdot(-1))\,\mathbf i -(2\cdot2-(-1)\cdot(-2))\,\mathbf j +(2\cdot(-1)-3\cdot(-2))\,\mathbf k =(5,-2,4).

Passo 6

Usamos a forma ponto-normal do plano com \vec n=(5,-2,4) e ponto P=(1,-2,3):
5(x-1)-2(y+2)+4(z-3)=0.
Distribuindo e somando termos, obtemos
5x-5-2y-4+4z-12=0 \quad\Longrightarrow\quad 5x-2y+4z-21=0.

Resposta

A equação geral do plano que contém r e s é
5x-2y+4z-21=0.

Exercícios relacionados