Determine \alpha \in \mathbb{C} de modo que o polinômio x^{3}+\alpha x^{2}+3 x+1 tenha uma raiz de multiplicidade 3 . Qual é essa raiz ?

Passo 1

O enunciado dá o polinômio \;x^{3}+\alpha x^{2}+3x+1\; e pede duas coisas:
  1. Determinar \alpha\in\mathbb{C} tal que o polinômio tenha uma raiz de multiplicidade 3.
  2. Dizer qual é essa raiz.
Informações relevantes dadas:
\;x^{3}+\alpha x^{2}+3x+1\; é um polinômio monico (coeficiente de x^{3} igual a 1) de grau 3. Queremos que exista um r\in\mathbb{C} tal que r seja raiz de multiplicidade 3.

Passo 2

O que significa "raiz de multiplicidade 3"?
Se um polinômio monico de grau 3 tem uma raiz r com multiplicidade 3, isso significa que todos os fatores lineares coincidem e que o polinômio é exatamente (x-r)^{3}. Explico por que: um polinômio de grau 3 com raiz r de multiplicidade 3 se escreve, até constante multiplicativa, como (x-r)^3; como aqui o coeficiente líder é 1, o polinômio deve ser
(x-r)^{3}.
Portanto, devemos ter
x^{3}+\alpha x^{2}+3x+1 = (x-r)^{3}
para algum r\in\mathbb{C}.

Passo 3

Vamos expandir (x-r)^{3}. Aplicando a fórmula do cubo de uma diferença:
(x-r)^{3} = x^{3} - 3r x^{2} + 3 r^{2} x - r^{3}.
Aqui cada termo significa:
  • x^{3} termo de maior grau;
  • -3r x^{2} coeficiente de x^{2} envolvendo r;
  • 3r^{2} x coeficiente de x;
  • -r^{3} termo independente.

Passo 4

Agora igualamos coeficientes entre
x^{3}+\alpha x^{2}+3x+1
e
x^{3} - 3r x^{2} + 3 r^{2} x - r^{3}.
Igualando coeficientes termo a termo obtemos o sistema:
\begin{cases} \alpha = -3r,\\[4pt] 3 = 3 r^{2},\\[4pt] 1 = -r^{3}. \end{cases}
Vou resolver essas equações passo a passo.]

Passo 5

Da segunda equação \;3 = 3 r^{2}\; temos, dividindo por 3,
r^{2} = 1.
Portanto
r = 1 \quad\text{ou}\quad r = -1.

Passo 6

Da terceira equação \;1 = -r^{3}\; obtemos
r^{3} = -1.
As soluções de r^{3}=-1 são as raízes cúbicas de -1, que são r=-1 e dois complexos \frac{1}{2}\pm \frac{\sqrt{3}}{2}i. No entanto, devemos encontrar r que satisfaça simultaneamente r^{2}=1 e r^{3}=-1. Testando as possibilidades de r^{2}=1:
  • Se r=1, então r^{3}=1\neq -1. Não serve.
  • Se r=-1, então r^{3}=-1. Isso satisfaz ambas as equações.
Logo o único r que satisfaz tudo é r=-1.

Passo 7

Agora usamos a primeira equação \alpha = -3r com r=-1:
\alpha = -3(-1) = 3.

Passo 8

Verificação final (sempre bom checar): calcule (x-(-1))^{3}=(x+1)^{3}. Expandindo:
(x+1)^{3} = x^{3} + 3x^{2} + 3x + 1.
Isso coincide exatamente com x^{3}+\alpha x^{2}+3x+1 quando \alpha=3. Portanto está consistente: para \alpha=3 o polinômio é (x+1)^{3} e -1 é raiz de multiplicidade 3.

Resposta

\alpha=3
-1

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