Determine \alpha \in \mathbb{C} de modo que o polinômio x^{3}+\alpha x^{2}+3 x+1 tenha uma raiz de multiplicidade 3 . Qual é essa raiz ?
Passo 1
O enunciado dá o polinômio \;x^{3}+\alpha x^{2}+3x+1\; e pede duas coisas:
Determinar \alpha\in\mathbb{C} tal que o polinômio tenha uma raiz de multiplicidade 3.
Dizer qual é essa raiz.
Informações relevantes dadas: \;x^{3}+\alpha x^{2}+3x+1\; é um polinômio monico (coeficiente de x^{3} igual a 1) de grau 3. Queremos que exista um r\in\mathbb{C} tal que r seja raiz de multiplicidade 3.
Passo 2
O que significa "raiz de multiplicidade 3"?
Se um polinômio monico de grau 3 tem uma raiz r com multiplicidade 3, isso significa que todos os fatores lineares coincidem e que o polinômio é exatamente (x-r)^{3}. Explico por que: um polinômio de grau 3 com raiz r de multiplicidade 3 se escreve, até constante multiplicativa, como (x-r)^3; como aqui o coeficiente líder é 1, o polinômio deve ser
(x-r)^{3}.
Portanto, devemos ter
x^{3}+\alpha x^{2}+3x+1 = (x-r)^{3}
para algum r\in\mathbb{C}.
Passo 3
Vamos expandir (x-r)^{3}. Aplicando a fórmula do cubo de uma diferença:
(x-r)^{3} = x^{3} - 3r x^{2} + 3 r^{2} x - r^{3}.
Aqui cada termo significa:
x^{3} termo de maior grau;
-3r x^{2} coeficiente de x^{2} envolvendo r;
3r^{2} x coeficiente de x;
-r^{3} termo independente.
Passo 4
Agora igualamos coeficientes entre
x^{3}+\alpha x^{2}+3x+1
e
x^{3} - 3r x^{2} + 3 r^{2} x - r^{3}.
Igualando coeficientes termo a termo obtemos o sistema:
Da segunda equação \;3 = 3 r^{2}\; temos, dividindo por 3,
r^{2} = 1.
Portanto
r = 1 \quad\text{ou}\quad r = -1.
Passo 6
Da terceira equação \;1 = -r^{3}\; obtemos
r^{3} = -1.
As soluções de r^{3}=-1 são as raízes cúbicas de -1, que são r=-1 e dois complexos \frac{1}{2}\pm \frac{\sqrt{3}}{2}i. No entanto, devemos encontrar r que satisfaça simultaneamente r^{2}=1 e r^{3}=-1. Testando as possibilidades de r^{2}=1:
Se r=1, então r^{3}=1\neq -1. Não serve.
Se r=-1, então r^{3}=-1. Isso satisfaz ambas as equações.
Logo o único r que satisfaz tudo é r=-1.
Passo 7
Agora usamos a primeira equação \alpha = -3r com r=-1:
\alpha = -3(-1) = 3.
Passo 8
Verificação final (sempre bom checar): calcule (x-(-1))^{3}=(x+1)^{3}. Expandindo:
(x+1)^{3} = x^{3} + 3x^{2} + 3x + 1.
Isso coincide exatamente com x^{3}+\alpha x^{2}+3x+1 quando \alpha=3. Portanto está consistente: para \alpha=3 o polinômio é (x+1)^{3} e -1 é raiz de multiplicidade 3.