Determine o resto da divisão de
por
sem efetuar a divisão.
(c)
e
(c)
Passo 1
O enunciado pede: “Determinar o resto da divisão de
por
sem efetuar a divisão.”
Informações dadas:
e
.
A pergunta concreta é: qual é o resto (um polinômio de grau < grau de ) quando dividimos
por
?
Informações dadas:
A pergunta concreta é: qual é o resto (um polinômio de grau < grau de
Passo 2
Ferramenta principal (teorema do resto): se dividimos um polinômio
por um polinômio linear
, o resto é o número
.
Por que isso vale? Qualquer divisão de polinômios dá
Por que isso vale? Qualquer divisão de polinômios dá
onde
é o quociente e
é o resto. Como o divisor tem grau
, o resto tem grau menor que
, portanto
é uma constante (um número). Se agora substituímos
na identidade acima, o termo
zera, sobrando
Assim o resto é exatamente
. (Essa é a razão pela qual não precisamos fazer a divisão: basta avaliar
em
.)
Passo 3
No nosso caso o divisor é
, então
. Pelo teorema do resto, o resto é
Passo 4
Vamos calcular
passo a passo. Primeiro calcule as potências de
:
Expliquei usando a propriedade
e que
.
Passo 5
Substituindo essas potências em
:
Calcule cada termo:
.
Passo 6
Some os termos:
Portanto o resto da divisão de
por
é o número
. Dica para a prova: sempre que o divisor for
use o teorema do resto — é rápido e evita divisão longa.