Determine o resto da divisão de f por g sem efetuar a divisão.
(c) f=x^{6}+3 x^{4}+x^{2} \quad e \quad g=x-\sqrt{5}

Passo 1

O enunciado pede: “Determinar o resto da divisão de f por g sem efetuar a divisão.”
Informações dadas:
f = x^{6} + 3x^{4} + x^{2} e g = x - \sqrt{5}.
A pergunta concreta é: qual é o resto (um polinômio de grau < grau de g) quando dividimos f por g?

Passo 2

Ferramenta principal (teorema do resto): se dividimos um polinômio f(x) por um polinômio linear x-a, o resto é o número f(a).
Por que isso vale? Qualquer divisão de polinômios dá
f(x)=(x-a)q(x)+r,
onde q(x) é o quociente e r é o resto. Como o divisor tem grau 1, o resto tem grau menor que 1, portanto r é uma constante (um número). Se agora substituímos x=a na identidade acima, o termo (x-a)q(x) zera, sobrando
f(a)=r.
Assim o resto é exatamente f(a). (Essa é a razão pela qual não precisamos fazer a divisão: basta avaliar f em a.)

Passo 3

No nosso caso o divisor é x-\sqrt{5}, então a=\sqrt{5}. Pelo teorema do resto, o resto é
r=f(\sqrt{5}).

Passo 4

Vamos calcular f(\sqrt{5}) passo a passo. Primeiro calcule as potências de \sqrt{5}:
(\sqrt{5})^{2}=5,
(\sqrt{5})^{4}=\big((\sqrt{5})^{2}\big)^{2}=5^{2}=25,
(\sqrt{5})^{6}=\big((\sqrt{5})^{2}\big)^{3}=5^{3}=125.
Expliquei usando a propriedade (\alpha^{m})^{n}=\alpha^{mn} e que (\sqrt{5})^{2}=5.

Passo 5

Substituindo essas potências em f:
f(\sqrt{5})=(\sqrt{5})^{6}+3(\sqrt{5})^{4}+(\sqrt{5})^{2}=125+3\cdot25+5.
Calcule cada termo: 3\cdot25=75.

Passo 6

Some os termos:
125+75+5=205.
Portanto o resto da divisão de f por g é o número 205. Dica para a prova: sempre que o divisor for x-a use o teorema do resto — é rápido e evita divisão longa.

Resposta

205

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