Determine o quociente e o resto na divisão de f por g.
(b) f=10 x^{5}+15 x^{4}-10 x^{3}-8 x^{2} e g=2 x^{3}+4 x^{2}-2 x-6

Passo 1

O enunciado pede que eu determine o quociente e o resto na divisão do polinómio f pelo polinómio g.
As informações dadas são:
f = 10x^{5}+15x^{4}-10x^{3}-8x^{2}
g = 2x^{3}+4x^{2}-2x-6
Ou seja, quero encontrar polinómios q (quociente) e r (resto) tais que
f = g\cdot q + r
e \deg(r) < \deg(g). Aqui \deg(g)=3, logo \deg(r) deve ser menor que 3 (ou seja, no máximo 2).

Passo 2

Como funciona o procedimento que vou usar (explicação didática e passo a passo):
  • A ideia é parecida com a divisão de números: eu comparo os termos de maior grau de f e g, determino qual termo multiplicado por g elimina o termo de maior grau de f, subtraio, e repito com o polinómio resultante até que o grau do resto seja menor que o grau de g.
  • Em cada passo eu faço: tomar o termo líder do resto atual dividido pelo termo líder de g. Esse quociente parcial é um termo do quociente final. Multiplico g por esse termo e subtraio do resto atual. Trago os termos inferiores (se houver) e repito.
  • Fórmula que guia tudo: se R é o resto atual e a_{lead}x^{m} o termo líder de R, e b_{lead}x^{n} é o termo líder de g, então o próximo termo do quociente é \dfrac{a_{lead}}{b_{lead}}x^{m-n}.

Passo 3

Primeiro, escrevo f com todos os graus até o termo independente (colocando zeros onde faltam) para facilitar as operações:
f = 10x^{5}+15x^{4}-10x^{3}-8x^{2}+0x+0.
O termo líder de f é 10x^{5}. O termo líder de g é 2x^{3}. Divido-os para achar o primeiro termo do quociente:
\frac{10x^{5}}{2x^{3}} = 5x^{2}.
Portanto o primeiro termo de q é 5x^{2}.

Passo 4

Multiplico g por 5x^{2} e subtraio de f. Primeiro a multiplicação:
5x^{2}\cdot g = 5x^{2}\cdot(2x^{3}+4x^{2}-2x-6) = 10x^{5}+20x^{4}-10x^{3}-30x^{2}.
Agora faço a subtração f - 5x^{2}\cdot g:
\begin{aligned} & (10x^{5}+15x^{4}-10x^{3}-8x^{2}+0x+0) \\\ &\quad - (10x^{5}+20x^{4}-10x^{3}-30x^{2}+0x+0) \\\ &= 0x^{5} + (15-20)x^{4} + (-10+10)x^{3} + (-8+30)x^{2} + 0x + 0 \\\ &= -5x^{4} + 0x^{3} + 22x^{2} + 0x + 0. \end{aligned}
Esse é o novo resto parcial: -5x^{4}+22x^{2}.

Passo 5

Agora considero o novo resto parcial cujo termo líder é -5x^{4}. Divido pelo termo líder de g, 2x^{3}:
\frac{-5x^{4}}{2x^{3}} = -\frac{5}{2}x.
Portanto o próximo termo do quociente é -\dfrac{5}{2}x.

Passo 6

Multiplico g por -\dfrac{5}{2}x:
-\frac{5}{2}x\cdot g = -\frac{5}{2}x\cdot(2x^{3}+4x^{2}-2x-6) = -5x^{4}-10x^{3}+5x^{2}+15x.
Faço a subtração do resto atual menos esse produto:
\begin{aligned} &(-5x^{4}+0x^{3}+22x^{2}+0x+0) \\\ &\quad - (-5x^{4}-10x^{3}+5x^{2}+15x+0) \\\ &= 0x^{4} + (0+10)x^{3} + (22-5)x^{2} + (0-15)x + 0 \\\ &= 10x^{3} + 17x^{2} -15x + 0. \end{aligned}
Novo resto parcial: 10x^{3}+17x^{2}-15x.

Passo 7

Agora o termo líder do resto é 10x^{3}. Divido pelo líder de g:
\frac{10x^{3}}{2x^{3}} = 5.
Então o próximo termo do quociente é 5.

Passo 8

Multiplico g por 5:
5\cdot g = 5\cdot(2x^{3}+4x^{2}-2x-6) = 10x^{3}+20x^{2}-10x-30.
Subtraio do resto atual:
\begin{aligned} &(10x^{3}+17x^{2}-15x+0) \\\ &\quad - (10x^{3}+20x^{2}-10x-30) \\\ &= 0x^{3} + (17-20)x^{2} + (-15+10)x + (0+30) \\\ &= -3x^{2} -5x + 30. \end{aligned}
Esse é o resto final, porque \deg(-3x^{2}-5x+30)=2 e isso é menor que \deg(g)=3. Portanto a divisão termina.

Passo 9

Recolhendo o quociente e o resto obtidos nos passos anteriores:
  • Quociente q = 5x^{2} - \dfrac{5}{2}x + 5.
  • Resto r = -3x^{2} -5x + 30.
Posso verificar rapidamente que
g\cdot q + r = f,
mas como já segui o processo padronizado da divisão e cheguei a resto de grau menor que 3, a resposta está correta.

Resposta

q = 5x^{2} - \dfrac{5}{2}x + 5
r = -3x^{2} -5x + 30

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