Determine o resto da divisão de f por g sem efetuar a divisão.
(b) f=x^{5}+5 x^{4}-x^{3}-8 x \quad e \quad g=x-3

Passo 1

O enunciado pede para determinar o resto da divisão de um polinômio f por outro polinômio g sem efetuar a divisão. As informações dadas são:
f(x)=x^{5}+5x^{4}-x^{3}-8x
g(x)=x-3

Passo 2

Vamos entender uma ferramenta poderosa e direta para esse tipo de problema: o Teorema do Resto. Ele diz o seguinte (vou explicar e provar rapidinho, sem complicar):
  • Se dividimos um polinômio f(x) por um polinômio do tipo x-a, o resto dessa divisão é um número constante igual a f(a).
Prova curta e intuitiva:
  • Ao dividir f(x) por x-a obtemos
f(x)=(x-a)\,q(x)+r,
onde q(x) é o quociente (um polinômio) e r é o resto. Como o grau de x-a é 1, o resto tem grau menor que 1, ou seja, é uma constante. Agora, basta avaliar em x=a:
f(a)=(a-a)\,q(a)+r = 0\cdot q(a)+r = r.
Portanto r=f(a). Simples e útil na prova!

Passo 3

Aplicando isso ao nosso caso: como g(x)=x-3, temos a=3. Logo o resto da divisão de f por g é
\text{resto}=f(3).

Passo 4

Agora calculamos f(3) passo a passo, substituindo x=3 em f(x):
Calculemos as potências e termos separadamente:
3^{5}=243,
5\cdot 3^{4}=5\cdot 81=405,
-\,3^{3}=-27,
-8\cdot 3=-24.
Somando tudo:
f(3)=243+405-27-24.
Fazendo as contas em ordem:
243+405=648,
648-27=621,
621-24=597.

Passo 5

Concluímos, então, que o resto da divisão de f por g é o número obtido acima.

Resposta

597

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