Determine o resto da divisão de
por
sem efetuar a divisão.
(b)
e
(b)
Passo 1
O enunciado pede para determinar o resto da divisão de um polinômio
por outro polinômio
sem efetuar a divisão. As informações dadas são:
Passo 2
Vamos entender uma ferramenta poderosa e direta para esse tipo de problema: o Teorema do Resto. Ele diz o seguinte (vou explicar e provar rapidinho, sem complicar):
- Se dividimos um polinômio
por um polinômio do tipo , o resto dessa divisão é um número constante igual a .
Prova curta e intuitiva:
- Ao dividir
por obtemos
onde
é o quociente (um polinômio) e
é o resto. Como o grau de
é
, o resto tem grau menor que
, ou seja, é uma constante. Agora, basta avaliar em
:
Portanto
. Simples e útil na prova!
Passo 3
Aplicando isso ao nosso caso: como
, temos
. Logo o resto da divisão de
por
é
Passo 4
Agora calculamos
passo a passo, substituindo
em
:
Calculemos as potências e termos separadamente:
Calculemos as potências e termos separadamente:
Somando tudo:
Fazendo as contas em ordem:
Passo 5
Concluímos, então, que o resto da divisão de
por
é o número obtido acima.