Determine as alternativas verdadeiras:
Se y1 e y2 atingem máximo e mínimo em um mesmo ponto em I, então podem formar um conjunto fundamental de soluções nesse intervalo.

Passo 1

O enunciado diz que temos duas soluções y1 e y2 de uma equação diferencial linear de segunda ordem homogênea num intervalo I e que ambas atingem máximo e mínimo num mesmo ponto x0in I. Queremos saber se, nessas condições, elas podem formar um conjunto fundamental de soluções nesse intervalo.

Passo 2

Se y1 e y2 têm extremo em x0, então y1'(x0)=0 e y2'(x0)=0. O wronskiano dessas soluções é dado por
W(y1,y2)(x)=y1(x)y2'(x)-y1'(x)y2(x)
Em x0 isso fica
W(y1,y2)(x0)=y1(x0)cdot 0 - 0cdot y2(x0)=0

Passo 3

Pelo teorema de Abel, se p e q são contínuas em I, então o wronskiano de duas soluções satisfaz
W(x)=W(x0)expl(-integralx0^x p(t),dtr)
Como W(x0)=0, segue que W(x)equiv 0 em todo I. Isso implica que y1 e y2 são linearmente dependentes.

Passo 4

Para formar um conjunto fundamental de soluções, é preciso que as soluções sejam linearmente independentes. Aqui, elas se mostram dependentes, logo não podem formar um conjunto fundamental em I.

Resposta

A afirmação é falsa.

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