Determine as alternativas verdadeiras:
Se
e
atingem máximo e mínimo em um mesmo ponto em
, então podem formar um conjunto fundamental de soluções nesse intervalo.
Se
Passo 1
O enunciado diz que temos duas soluções
e
de uma equação diferencial linear de segunda ordem homogênea num intervalo
e que ambas atingem máximo e mínimo num mesmo ponto
. Queremos saber se, nessas condições, elas podem formar um conjunto fundamental de soluções nesse intervalo.
Passo 2
Se
e
têm extremo em
, então
e
. O wronskiano dessas soluções é dado por
Em
isso fica
Passo 3
Pelo teorema de Abel, se
e
são contínuas em
, então o wronskiano de duas soluções satisfaz
Como
, segue que
em todo
. Isso implica que
e
são linearmente dependentes.
Passo 4
Para formar um conjunto fundamental de soluções, é preciso que as soluções sejam linearmente independentes. Aqui, elas se mostram dependentes, logo não podem formar um conjunto fundamental em
.
Resposta
A afirmação é falsa.