Determine a forma do Wronskiano de duas soluções da equação diferencial:
Escolha uma opção:
Nenhuma das demais alternativas
Nenhuma das demais alternativas
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício! Aqui a gente precisa encontrar a forma do Wronskiano de duas soluções da equação diferencial dada:
Esse problema está ligado ao estudo de equações diferenciais lineares e ao Wronskiano, que nos ajuda a verificar se duas soluções são linearmente independentes. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula do Wronskiano para equações diferenciais de segunda ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Wronskiano. Para duas soluções $ y_1 $ e $ y_2 $ de uma equação diferencial linear de segunda ordem, o Wronskiano é dado por:
O Wronskiano nos diz se as soluções são linearmente independentes. Se $ W \neq 0 $, as soluções são independentes.
Passo 3
Agora, existe uma fórmula que relaciona o Wronskiano $ W(t) $ com os coeficientes da equação diferencial. Para uma equação na forma padrão:
o Wronskiano satisfaz a seguinte equação diferencial:
Então, podemos resolver essa equação para encontrar $ W(t) $.
Passo 4
Vamos colocar a nossa equação diferencial na forma padrão. A equação dada é:
Dividindo todos os termos por $ t^{2} $ para deixar o coeficiente de $ y’’ $ igual a 1:
Assim, identificamos:
Passo 5
Agora, vamos usar a equação para o Wronskiano:
Substituindo $ P(t) $:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem para $ W(t) $.
Passo 6
Para resolver essa equação, podemos reorganizar os termos:
Integrando ambos os lados em relação a $ t $:
A integral do lado esquerdo é $ \ln|W(t)| + C $.
Passo 7
Vamos resolver a integral do lado direito:
Então, temos:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 8
Agora, vamos resolver para $ W(t) $:
Onde $ C = e^{C} $ é uma nova constante.
Passo 9
Observando as opções disponíveis, percebemos que a forma que encontramos não coincide diretamente com nenhuma delas. No entanto, se considerarmos que a constante pode absorver termos adicionais, a opção mais próxima é $ \frac{c}{t} $, que se relaciona inversamente com $ t $.
Resposta
A forma do Wronskiano é $ \frac{c}{t} $.