Determine a altura do maior cone que pode ser gerado pela rotação de um triângulo retângulo de hipotenusa igual a 2 cm em torno de um dos catetos.

Passo 1

Temos um triângulo retângulo com hipotenusa 2 cm, girado em torno de um cateto para gerar um cone. Precisamos encontrar a altura do cone que maximiza o volume. Para isso, vamos usar a fórmula do volume de um cone e otimização em uma variável usando derivadas.

Passo 2

Definimos h como a altura do cone (cateto em torno do qual giramos) e r como o raio da base (outro cateto). A relação entre r e h vem do Teorema de Pitágoras: r^2 + h^2 = 4, logo r = raiz4 - h^2.

Passo 3

Escrevemos o volume do cone em função de h:
V(h) = pi3 ;r^2;h = pi3(4 - h^2),h = pi3(4h - h^3) .

Passo 4

Para achar o máximo, derivamos:
V'(h) = pi3(4 - 3h^2) .
Então igualamos a zero: 4 - 3h^2 = 0 implies h^2 = tfrac43 implies h = tfrac2raiz3.

Passo 5

Conferimos que é um máximo olhando a segunda derivada:
V''(h) = pi3(-6h) ,
em h = tfrac2raiz3, temos V''(h) < 0, logo esse ponto é um máximo de volume.

Resposta

tfrac2raiz33 cm

Exercícios relacionados