Determine a altura do maior cone que pode ser gerado pela rotação de um triângulo retângulo de hipotenusa igual a 2 cm em torno de um dos catetos.
Passo 1
Temos um triângulo retângulo com hipotenusa 2 cm, girado em torno de um cateto para gerar um cone. Precisamos encontrar a altura do cone que maximiza o volume. Para isso, vamos usar a fórmula do volume de um cone e otimização em uma variável usando derivadas.
Passo 2
Definimos
como a altura do cone (cateto em torno do qual giramos) e
como o raio da base (outro cateto). A relação entre
e
vem do Teorema de Pitágoras:
, logo
.
Passo 3
Escrevemos o volume do cone em função de
:
Passo 4
Para achar o máximo, derivamos:
Então igualamos a zero:
.
Passo 5
Conferimos que é um máximo olhando a segunda derivada:
em
, temos
, logo esse ponto é um máximo de volume.